Encuentra todos los enteros positivos $n$ y enteros no negativos $a_1,a_2,\dots,a_n$ que satisfacen: $i$ divide exactamente a $a_i$ números entre $a_1,a_2,\dots,a_n$ , para cada $i=1,2,\dots,n$ . ( $0$ es divisible por todos los enteros.)

Muestra que $x^3 + x+ a^2 = y^2$ tiene al menos un par de soluciones enteras positivas $(x,y)$ para cada entero positivo $a$.

El incírculo $\omega$ de un cuadrilátero $ABCD$ toca $AB, BC, CD, DA$ en $E, F, G, H$, respectivamente. Elige un punto arbitrario $X$ en el segmento $AC$ dentro de $\omega$. Los segmentos $XB, XD$ se encuentran con $\omega$ en $I, J$ respectivamente. Demuestra que $FJ, IG, AC$ son concurrentes.

Los enteros positivos del 1 al 9 están escritos en cada cuadrado de una tabla de $3 \times 3$. Definamos una operación como sigue: Tomar una fila o columna arbitraria y reemplazar estos números $a, b, c$ con números no negativos $a-x, b-x, c+x$ o $a+x, b-x, c-x$, donde $x$ es un número positivo y puede variar en cada operación. (1) ¿Existe una serie de operaciones tales que los 9 números resulten ser iguales desde la siguiente disposición inicial a)? b)? \[ a) \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} )\] \[ b) \begin{array}{ccc} 2 & 8 & 5 \\ 9 & 3 & 4 \\ 6 & 7 & 1 \end{array} )\] (2) Determina el valor máximo al que los 9 números resultan ser iguales después de algunos pasos.

Encuentra todos los $a, b, c \in \mathbb{Z}$, $c \ge 0$ tales que $a^n + 2^n | b^n + c$ para todos los enteros positivos $n$ donde $2ab$ no es un cuadrado.

Sean $a_1, a_2, \cdots, a_k$ números tales que $a_i \in \{ 0,1,2,3 \} (i= 1, 2, \cdots ,k)$. Sea $z = ( x_k , x_{k-1} , \cdots , x_1 )_4$ una expansión en base 4 de $z \in \{ 0, 1, 2, \cdots , 4^k -1 \}$. Define $A$ como sigue: \[ A = \{ z | p(z)=z, z=0, 1, \cdots ,4^k-1 \}\] donde \[ p(z) = \sum_{i=1}^{k} a_i x_i 4^{i-1} . \] Demuestra que el número de elementos en $X$ es una potencia de 2.

El incírculo de un triángulo no isósceles $ABC$ con centro $I$ toca los lados $BC, CA, AB$ en $A_1, B_1, C_1$ respectivamente. La línea $AI$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $A_2$. La línea $B_1 C_1$ se encuentra con la línea $BC$ en $A_3$ y la línea $A_2 A_3$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $A_4 (\ne A_2)$. Define $B_4, C_4$ de manera similar. Demuestra que las líneas $AA_4, BB_4, CC_4$ son concurrentes.

$M_n(\mathbb{C})$ es el espacio vectorial de todas las matrices complejas $n\times n$. Dada una aplicación lineal $T:M_n(\mathbb{C})\to M_n(\mathbb{C})$ tal que $\det (A)=\det(T(A))$ para cada $A\in M_n(\mathbb{C})$ . (1) Si $T(A)$ es la matriz cero, entonces demuestra que $A$ también es la matriz cero. (2) Prueba que $\text{rango} (A)=\text{rango} (T(A))$ para cualquier $A\in M_n(\mathbb{C})$ .

Para un número real $a$ y un entero $n(\geq 2)$ , define $$S_n (a) = n^a \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^{2019} (n-k)^{2019}}$$ Encuentra cada valor de $a$ tal que la secuencia $\{S_n(a)\}_{n\geq 2}$ converge a un real positivo.

Una función $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ es integrable y $$\int_0^\infty f(x)^2 dx<\infty,\quad \int_0^\infty xf(x) dx <\infty$$ Prueba la siguiente desigualdad. $$\left(\int_0^\infty f(x) dx \right)^3 \leq 8\left(\int_0^\infty f(x)^2 dx \right) \left(\int_0^\infty xf(x) dx \right)$$