Sean $n,k,m$ enteros positivos, donde $k\ge 2$ y $n\le m < \frac{2k-1}{k}n$ . Sea $A$ un subconjunto de $\{1,2,\ldots ,m\}$ con $n$ elementos. Demuestra que todo entero en el rango $\left(0,\frac{n}{k-1}\right)$ puede ser expresado como $a-b$ , donde $a,b\in A$ .

En el triángulo $\triangle ABC$ , $AB<AC$ , $M,D,E$ son los puntos medios de $BC$ , los arcos $BAC$ y $BC$ de la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ respectivamente. La circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ toca a $AB$ en $F$ , $AE$ se encuentra con $BC$ en $G$ , y la perpendicular a $AB$ en $B$ se encuentra con el segmento $EF$ en $N$ . Si $BN=EM$ , demuestra que $DF$ es perpendicular a $FG$ .

Sean $ a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n,A,B$ números reales positivos tales que $ a_i\leq b_i,a_i\leq A$ $(i=1,2,\cdots,n)$ y $\frac{b_1 b_2 \cdots b_n}{a_1 a_2 \cdots a_n}\leq \frac{B}{A}.$ Demuestra que $$\frac{(b_1+1) (b_2+1) \cdots (b_n+1)}{(a_1+1) (a_2+1) \cdots (a_n+1)}\leq \frac{B+1}{A+1}.$$

Sea $N=10^{2024}$ . $S$ es un cuadrado en el plano cartesiano con una longitud de lado $N$ y los lados paralelos a los ejes de coordenadas. Dentro hay $N$ puntos $P_1$ , $P_2$ , $\dots$ , $P_N$ todos los cuales tienen diferentes coordenadas $x$ , y el valor absoluto de la pendiente de cualquier línea conectada entre estos puntos es como máximo $1$ . Pruebe que existe una línea $l$ tal que al menos $2024$ de estos puntos están a una distancia como máximo $1$ de $l$ .

$P(z)=a_nz^n+\dots+a_1z+z_0$ , con $a_n\neq 0$ es un polinomio con coeficientes complejos, tal que cuando $|z|=1$ , $|P(z)|\leq 1$ . Pruebe que para cualquier $0\leq k\leq n-1$ , $|a_k|\leq 1-|a_n|^2$ .

$ABC$ es un triángulo isósceles, con $AB=AC$ . $D$ es un punto móvil tal que $AD\parallel BC$ , $BD>CD$ . El punto móvil $E$ está en el arco de $BC$ en la circunferencia circunscrita de $ABC$ que no contiene a $A$ , tal que $EB<EC$ . El rayo $BC$ contiene el punto $F$ con $\angle ADE=\angle DFE$ . Si el rayo $FD$ interseca el rayo $BA$ en $X$ , e interseca el rayo $CA$ en $Y$ , pruebe que $\angle XEY$ es un ángulo fijo.

Sea el entero $n\ge 3,$ $\tbinom n2$ números reales no negativos $a_{i,j}$ que satisfacen $ a_{i,j}+a_{j,k}\le a_{i,k}$ se cumple para todo $1\le i <j<k\le n$ . Pruebe $$\left\lfloor\frac{n^2}4\right\rfloor\sum_{1\le i<j\le n}a_{i,j}^4\ge \left(\sum_{1\le i<j\le n}a_{i,j}^2\right)^2.$$

Un entero positivo es un buen número, si su representación en base $10$ se puede dividir en al menos $5$ secciones, cada sección con un dígito distinto de cero, y después de interpretar cada sección como un entero positivo (omitiendo los dígitos cero a la izquierda), se pueden dividir en dos grupos, de modo que cada grupo se puede reordenar para formar una secuencia geométrica (si un grupo tiene $1$ o $2$ números, también es una secuencia geométrica), por ejemplo $20240327$ es un buen número, ya que después de dividirlo como $2|02|403|2|7$ , $2|02|2$ y $403|7$ forman dos grupos de secuencias geométricas. Si $a>1$ , $m>2$ , $p=1+a+a^2+\dots+a^m$ es un primo, pruebe que $\frac{10^{p-1}-1}{p}$ es un buen número.

$n$ es un entero positivo. Un triángulo equilátero de lado $3n$ se divide en $9n^2$ triángulos equiláteros unitarios, cada uno coloreado de rojo, amarillo, azul, de modo que cada color aparece $3n^2$ veces. Llamamos a un trapecio formado por tres triángulos equiláteros unitarios como un 'trapecio estándar'. Si un 'trapecio estándar' contiene los tres colores, lo llamamos un 'trapecio colorido'. Encuentre el número máximo posible de 'trapecios coloridos'.

Sean $m,n\in\mathbb Z_{\ge 0},$ $a_0,a_1,\ldots ,a_m,b_0,b_1,\ldots ,b_n\in\mathbb R_{\ge 0}$ Para cualquier entero $0\le k\le m+n,$ defina $c_k:=\max_{i+j=k}a_ib_j.$ Pruebe $$\frac 1{m+n+1}\sum_{k=0}^{m+n}c_k\ge\frac 1{(m+1)(n+1)}\sum_{i=0}^{m}a_i\sum_{j=0}^{n}b_j.$$