$ABCDE$ es un pentágono convexo con $BD=CD=AC$ , y $B$ , $C$ , $D$ , $E$ son concíclicos. Si $\angle BAC+\angle AED=180^{\circ}$ y $\angle DCA=\angle BDE$ , pruebe que $AB=DE$ o $AB=2AE$ .

$m>1$ es un entero tal que $[2m-\sqrt{m}+1, 2m]$ contiene un primo. Pruebe que para cualquier entero positivo por pares distintos $a_1$ , $a_2$ , $\dots$ , $a_m$ , siempre hay $1\leq i,j\leq m$ tal que $\frac{a_i}{(a_i, a_j)}\geq m$ .

$n>1$ es un entero. Sea el número real $x>1$ que satisface $$x^{101}-nx^{100}+nx-1=0.$$ Pruebe que para cualquier real $0<a<b<1$ , existe un entero positivo $m$ tal que $a<\{x^m\}<b.$

Para un entero positivo $n$ y un subconjunto $S$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ , sea $S$ ' $n$ - bueno' si y solo si para cualquier $x$ , $y\in S$ (permitido ser el mismo), si $x+y\leq n$ , entonces $x+y\in S$ . Sea $r_n$ el número real más pequeño tal que para cualquier entero positivo $m\leq n$ , siempre hay un conjunto ' $n$ - bueno' de $m$ - elementos, de modo que la suma de sus elementos no sea más que $m\cdot r_n$ . Pruebe que existe un número real $\alpha$ tal que para cualquier entero positivo $n$ , $|r_n-\alpha n|\leq 2024.$

Para un número natural $n$ , sea $$C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}=\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}$$ el $n$ - ésimo número de Catalan. Pruebe que para cualquier número natural $m$ , $$\sum_{i+j+k=m} C_{i+j}C_{j+k}C_{k+i}=\frac{3}{2m+3}C_{2m+1}.$$

Dado un número impar positivo $m$ y un entero ${a}.$ Prueba: Para cualquier número real $c,$ $$\#\left\{x\in\mathbb Z\cap [c,c+\sqrt m]\mid x^2\equiv a\pmod m\right\}\le 2+\log_2m.$$

Inicialmente hay el número $1$ en la pizarra. El primer paso es borrar $1$ y escribir dos reales no negativos cuya suma es $1$ . Llama al número más pequeño de los dos $L_2$ . Para el entero $k \ge 2$ , el ${k}$ -ésimo paso es borrar un número en la pizarra arbitrariamente y escribir dos reales no negativos cuya suma es el número borrado justo ahora. Llama al número más pequeño del $k+1$ en la pizarra $L_{k+1}$ . Encuentra el máximo de $L_2+L_3+\cdots+L_{2024}$ .

Sea $M$ un entero positivo. $f(x):=x^3+ax^2+bx+c\in\mathbb Z[x]$ satisface $|a|,|b|,|c|\le M.$ $x_1,x_2$ son raíces diferentes de $f.$ Pruebe que $$|x_1-x_2|>\frac 1{M^2+3M+1}.$$

Colorea los enteros positivos con cuatro colores $c_1,c_2,c_3,c_4$ . (1)Pruebe que existe un entero positivo $n$ e $i,j\in\{1,2,3,4\}$ , tal que entre todos los divisores positivos de $n$ , el número de divisores con color $c_i$ es al menos mayor que el número de divisores con color $c_j$ por $3$ . (2)Pruebe que para cualquier entero positivo $A$ , existe un entero positivo $n$ e $i,j\in\{1,2,3,4\}$ , tal que entre todos los divisores positivos de $n$ , el número de divisores con color $c_i$ es al menos mayor que el número de divisores con color $c_j$ por $A$ .

En $\triangle {ABC}$ , las tangentes de la circunferencia circunscrita $\odot {O}$ en $B, C$ y en $A, B$ se intersecan en $X, Y$ respectivamente. $AX$ corta a $BC$ en ${D}$ y $CY$ corta a $AB$ en ${F}$ . El rayo $DF$ corta el arco $AB$ de la circunferencia circunscrita en ${P}$ . $Q, R$ están en los segmentos $AB, AC$ tales que $P, Q, R$ son colineales y $QR \parallel BO$ . Si $PQ^2=PR \cdot QR$ , encuentre $\angle ACB$ .