Para enteros positivos coprimos $a,b$ , denotamos $(a^{-1}\bmod{b})$ por el único entero $0\leq m<b$ tal que $am\equiv 1\pmod{b}$ (1)Pruebe que para enteros coprimos por pares $a,b,c$ , $1<a<b<c$ , tenemos $$(a^{-1}\bmod{b})+(b^{-1}\bmod{c})+(c^{-1}\bmod{a})>\sqrt a.$$ (2)Pruebe que para cualquier entero positivo $M$ , existen enteros coprimos por pares $a,b,c$ , $M<a<b<c$ tal que $$(a^{-1}\bmod{b})+(b^{-1}\bmod{c})+(c^{-1}\bmod{a})< 100\sqrt a.$$

Sean $m,n>2$ enteros. Una región poligonal regular de ${n}$ lados $\mathcal T$ en un plano contiene una región poligonal regular de ${m}$ lados con una longitud de lado de ${}{}{}1$ . Pruebe que cualquier región poligonal regular de ${m}$ lados $\mathcal S$ en el plano con una longitud de lado $\cos{\pi}/[m,n]$ puede ser trasladada dentro de $\mathcal T.$ En otras palabras, existe un vector $\vec\alpha,$ tal que para cada punto en $\mathcal S,$ después de trasladar el vector $\vec\alpha$ en ese punto, cae dentro de $\mathcal T.$ Nota: El área poligonal incluye tanto el interior como los bordes.

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb N_+\to \mathbb N_+,$ tales que para todo entero positivo $a,b,$ $$\sum_{k=0}^{2b}f(a+k)=(2b+1)f(f(a)+b).$$

Sea $n$ un entero positivo libre de cuadrados, $S$ es un subconjunto de $[n]:=\{1,2,\ldots ,n\}$ tal que $|S|\ge n/2.$ Pruebe que existen tres elementos $a,b,c\in S$ (pueden ser iguales), que satisfacen $ab\equiv c\pmod n.$

Dado un entero positivo $M.$ Para cualquier $n\in\mathbb N_+,$ sea $h(n)$ el número de elementos en $[n]$ que son coprimos con $M.$ Define $\beta :=\frac {h(M)}M.$ Prueba: hay al menos $\frac M3$ elementos $n$ en $[M],$ que satisfacen $$\left| h(n)-\beta n\right|\le\sqrt{\beta\cdot 2^{\omega(M)-3}}+1.$$ Aquí $[n]:=\{1,2,\ldots ,n\}$ para todo entero positivo $n.$

En el triángulo acutángulo $\triangle {ABC}$ , $\angle A > \angle B > \angle C$ . $\triangle {AC_1B}$ y $\triangle {CB_1A}$ son triángulos isósceles tales que $\triangle {AC_1B} \stackrel{+}{\sim} \triangle {CB_1A}$ . Sean las líneas $BB_1, CC_1$ que se intersecan en ${T}$ . Pruebe que si todos los puntos mencionados anteriormente son distintos, $\angle ATC$ no es un ángulo recto.

Se sabe que cada vértice del poliedro convexo $P$ pertenece a tres caras diferentes, y cada vértice de $P$ puede ser coloreado de blanco y negro, de modo que los dos extremos de cada arista de $P$ son de colores diferentes. Prueba: El interior de cada arista de $P$ puede ser coloreado de rojo, amarillo y azul, de modo que los colores de las tres aristas conectadas a cada vértice sean diferentes, y cada cara contiene dos colores de aristas.

Encuentre un número $n \geq 9$ tal que para cualquier $n$ números, no necesariamente distintos, $a_1,a_2, \ldots , a_n$, existen 9 números $a_{i_1}, a_{i_2}, \ldots , a_{i_9}, (1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_9 \leq n)$ y $b_i \in {4,7}, i =1, 2, \ldots , 9$ tal que $b_1a_{i_1} + b_2a_{i_2} + \ldots + b_9a_{i_9}$ es un múltiplo de 9.

Sea $\{a_n\}_{n \geq 1}$ una sucesión acotada que satisface \[a_n < \displaystyle\sum_{k=a}^{2n+2006} \frac{a_k}{k+1} + \frac{1}{2n+2007} \quad \forall \quad n = 1, 2, 3, \ldots \] Demuestre que \[a_n < \frac{1}{n} \quad \forall \quad n = 1, 2, 3, \ldots\]

Sean $O, I$ el circuncentro y el incentro del triángulo $ABC$. La circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ toca a $BC, CA, AB$ en los puntos $D, E, F$ respectivamente. $FD$ se encuentra con $CA$ en $P$, $ED$ se encuentra con $AB$ en $Q$. $M$ y $N$ son los puntos medios de $PE$ y $QF$ respectivamente. Demuestre que $OI \perp MN$.