Sean $a_1, a_2, \ldots , a_{11}$ 11 enteros positivos distintos dos a dos con suma menor que 2007. Sea S la secuencia de $1,2, \ldots ,2007$. Se define una operación como 22 aplicaciones consecutivas de los siguientes pasos en la secuencia $S$: en el $i$ - ésimo paso, elija un número de la secuencia $S$ al azar, digamos $x$. Si $1 \leq i \leq 11$, reemplace $x$ con $x+a_i$; si $12 \leq i \leq 22$, reemplace $x$ con $x-a_{i-11}$. Si el resultado de la operación en la secuencia $S$ es una permutación impar de $\{1, 2, \ldots , 2007\}$, es una operación impar; si el resultado de la operación en la secuencia $S$ es una permutación par de $\{1, 2, \ldots , 2007\}$, es una operación par. ¿Cuál es más grande, el número de operaciones impares o el número de permutaciones pares? ¿Y por cuánto? Aquí $\{x_1, x_2, \ldots , x_{2007}\}$ es una permutación par de $\{1, 2, \ldots ,2007\}$ si el producto $\prod_{i > j} (x_i - x_j)$ es positivo, y una impar en caso contrario.

Demuestre que: \n1) Si $2n-1$ es un número primo, entonces para cualquier $n$ enteros positivos distintos dos a dos $a_1, a_2, \ldots , a_n$, existe $i, j \in \{1, 2, \ldots , n\}$ tal que \[\frac{a_i+a_j}{(a_i,a_j)} \geq 2n-1\] \n2) Si $2n-1$ es un número compuesto, entonces existe $n$ enteros positivos distintos dos a dos $a_1, a_2, \ldots , a_n$, tal que para cualquier $i, j \in \{1, 2, \ldots , n\}$ tenemos \[\frac{a_i+a_j}{(a_i,a_j)} < 2n-1\] Aquí $(x,y)$ denota el máximo común divisor de $x,y$.

Dados los números complejos $a, b, c$, sea $|a+b|=m, |a-b|=n$. Si $mn \neq 0$, demuestre que \[\max \{|ac+b|,|a+bc|\} \geq \frac{mn}{\sqrt{m^2+n^2}}\]

Sean $m$ y $n$ enteros positivos. Una secuencia de puntos $(A_0,A_1,\ldots,A_n)$ en el plano cartesiano se llama interesante si $A_i$ son todos puntos reticulares, las pendientes de $OA_0,OA_1,\cdots,OA_n$ son estrictamente crecientes ( $O$ es el origen) y el área del triángulo $OA_iA_{i+1}$ es igual a $\frac{1}{2}$ para $i=0,1,\ldots,n-1$ . Sea $(B_0,B_1,\cdots,B_n)$ una secuencia de puntos. Podemos insertar un punto $B$ entre $B_i$ y $B_{i+1}$ si $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB_i}+\overrightarrow{OB_{i+1}}$ , y la secuencia resultante $(B_0,B_1,\ldots,B_i,B,B_{i+1},\ldots,B_n)$ se llama una extensión de la secuencia original. Dadas dos secuencias interesantes $(C_0,C_1,\ldots,C_n)$ y $(D_0,D_1,\ldots,D_m)$ , demuestra que si $C_0=D_0$ y $C_n=D_m$ , entonces podemos realizar finitamente muchas extensiones en cada secuencia hasta que las dos secuencias resultantes se vuelvan idénticas.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$ cualquier permutación de todos los enteros positivos. Demuestra que existen infinitos enteros positivos $i$ tales que $\gcd(a_i,a_{i+1})\leq \frac{3}{4} i$ .

Sea $H$ el ortocentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Sea $P$ un punto en el arco $BC$ (que no contiene a $A$ ) de $\Gamma$ , y sea $M$ un punto en el arco $CA$ (que no contiene a $B$ ) de $\Gamma$ tal que $H$ se encuentra en el segmento $PM$ . Sea $K$ otro punto en $\Gamma$ tal que $KM$ es paralelo a la línea de Simson de $P$ con respecto al triángulo $ABC$ . Sea $Q$ otro punto en $\Gamma$ tal que $PQ \parallel BC$ . Los segmentos $BC$ y $KQ$ se intersecan en un punto $J$ . Demuestra que $\triangle KJM$ es un triángulo isósceles.

Sea $G$ un grafo simple con $3n^2$ vértices ( $n\geq 2$ ) . Se sabe que el grado de cada vértice de $G$ no es mayor que $4n$ , existe al menos un vértice de grado uno, y entre dos vértices cualesquiera, hay un camino de longitud $\leq 3$ . Demuestra que el número mínimo de aristas que $G$ podría tener es igual a $\frac{(7n^2- 3n)}{2}$ .

Sea $n>1$ un entero, y sea $k$ el número de divisores primos distintos de $n$ . Demuestra que existe un entero $a$ , $1<a<\frac{n}{k}+1$ , tal que $n \mid a^2-a$ .

Sea $n\geq 3$ un entero. Encuentra el mayor número real $M$ tal que para cualquier número real positivo $x_1,x_2,\cdots,x_n$ , existe una disposición $y_1,y_2,\cdots,y_n$ de números reales que satisface \[\sum_{i=1}^n \frac{y_i^2}{y_{i+1}^2-y_{i+1}y_{i+2}+y_{i+2}^2}\geq M,\] donde $y_{n+1}=y_1,y_{n+2}=y_2$ .

Sea $A=\{a^3+b^3+c^3-3abc|a,b,c\in\mathbb{N}\}$ , $B=\{(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)|a,b,c\in\mathbb{N}\}$ , $P=\{n|n\in A\cap B,1\le n\le 2016\}$ , encuentra el valor de $|P|$ .