Lanzamos un dado tres veces y los números son $x,y,z$ averigua la posibilidad de $\binom{7}{x}<\binom{7}{y}<\binom{7}{z}$

Sean $a,b,c $ las longitudes de los tres lados de un triángulo y $a,b$ las dos raíces de la ecuación $ax^2-bx+c=0 $ $ (a<b) . $ Encuentra el rango de valores de $ a+b-c .$

Encuentra la suma de las 20 soluciones reales positivas más pequeñas de la ecuación $\sin x=\cos 2x .$

Si tres vectores no nulos en un plano $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ satisfacen: (a) $\vec{a}\bot\vec{b}$ (b) $\vec{b}\cdot\vec{c}=2|\vec{a}|$ (c) $\vec{c}\cdot\vec{a}=3|\vec{b}|$ averigua el mínimo de $|\vec{c}|$

Si a,b∈R+ , $a^{\log b}=2$ , $a^{\log a}b^{\log b}=5$ , averigua $(ab)^{\log ab}$

Definimos un número complejo $z=9+10i$ por favor encuentra el máximo entero positivo $n$ que satisface $|z^n|\leq2023$

Sea $p$ un número primo que es mayor que $3$. Demuestre que existen algunos enteros $a_{1}, a_{2}, \cdots a_{k}$ que satisfacen: \[-\frac{p}{2}< a_{1}< a_{2}< \cdots <a_{k}< \frac{p}{2}\] haciendo el producto: \[\frac{p-a_{1}}{|a_{1}|}\cdot \frac{p-a_{2}}{|a_{2}|}\cdots \frac{p-a_{k}}{|a_{k}|}\] sea igual a $3^{m}$ donde $m$ es un entero positivo.

Dado que $x_{i}>0$, $i = 1, 2, \cdots, n$, $k \geq 1$. Demuestre que: \[\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{1+x_{i}}\cdot \sum_{i=1}^{n}x_{i}\leq \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{k+1}}{1+x_{i}}\cdot \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}^{k}}\]

Sea $M= \{ 1, 2, \cdots, 19 \}$ y $A = \{ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\} \subseteq M$. Encuentre el mínimo $k$ para que para cualquier $b \in M$, existan $a_{i}, a_{j}\in A$, que satisfagan $b=a_{i}$ o $b=a_{i}\pm a_{i}$ ( $a_{i}$ y $a_{j}$ no tienen que ser diferentes).

Sea el conjunto $S = \{ (a,b) \mid 1 \leq a, b \leq 5, a,b \in \mathbb{Z}\}$ un conjunto de puntos en el plano con coordenadas enteras. $T$ es otro conjunto de puntos con coordenadas enteras en el plano. Si para cualquier punto $P \in S$, siempre hay otro punto $Q \in T$, $P \neq Q$, tal que no hay otros puntos enteros en el segmento $PQ$. Encuentre el valor mínimo del número de elementos de $T$.