$8$ personas participan en una fiesta. (1) Entre cualesquiera $5$ personas hay $3$ que se conocen entre sí por parejas. Demuestre que hay $4$ personas que se conocen entre sí por parejas. (2) Si entre cualesquiera $6$ personas hay $3$ que se conocen entre sí por parejas, entonces ¿podemos encontrar $4$ personas que se conocen entre sí por parejas?

Muestre que para cualquier $i=1,2,3$, existen infinitos enteros positivos $n$, tales que entre $n$, $n+2$ y $n+28$, hay exactamente $i$ términos que pueden expresarse como la suma de los cubos de tres enteros positivos.

Sea $O$ la intersección de las diagonales del cuadrilátero convexo $ABCD$. Los circuncírculos de $\triangle{OAD}$ y $\triangle{OBC}$ se encuentran en $O$ y $M$. La línea $OM$ se encuentra con los circuncírculos de $\triangle{OAB}$ y $\triangle{OCD}$ en $T$ y $S$ respectivamente. Demuestre que $M$ es el punto medio de $ST$.

Sea $a>0$, la función $f: (0,+\infty) \to R$ satisface $f(a)=1$, si para cualesquiera reales positivos $x$ e $y$, existe \[f(x)f(y)+f \left( \frac{a}{x}\right)f \left( \frac{a}{y}\right) =2f(xy)\] entonces demuestre que $f(x)$ es una constante.

Sean $a_1,a_2,...$ una secuencia de enteros no negativos tales que para cualesquiera $m,n$ \[ \sum_{i=1}^{2m} a_{in} \leq m.\] Demostrar que existen $k,d$ tales que \[ \sum_{i=1}^{2k} a_{id} = k-2014.\]

Dados $30$ estudiantes tales que cada estudiante tiene a lo sumo $5$ amigos y para cada $5$ estudiantes hay un par de estudiantes que no son amigos, determinar el máximo $k$ tal que para todas las posibles configuraciones, existen $k$ estudiantes que no son amigos.

Determinar todos los enteros $k$ tales que existen infinitos enteros positivos $n$ que no satisfacen \[n+k |\binom{2n}{n}\]

Sea $n \geq 5$ un entero positivo y sean $A$ y $B$ conjuntos de enteros que satisfacen las siguientes condiciones: i) $|A| = n$ , $|B| = m$ y $A$ es un subconjunto de $B$ ii) Para cualesquiera $x,y \in B$ distintos, $x+y \in B$ si y solo si $x,y \in A$ Determine el valor mínimo de $m$ .

Sean $ A, B, D, E, F, C $ seis puntos que se encuentran en un círculo (en orden) que satisfacen $ AB=AC $ . Sean $ P=AD \cap BE, R=AF \cap CE, Q=BF \cap CD, S=AD \cap BF, T=AF \cap CD $ . Sea $ K $ un punto que se encuentra en $ ST $ que satisface $ \angle QKS=\angle ECA $ . Demostrar que $ \frac{SK}{KT}=\frac{PQ}{QR} $

Sean $z_1,z_2,...,z_n$ números complejos que satisfacen $|z_i - 1| \leq r$ para algún $r$ en $(0,1)$ . Demostrar que \[ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).\]