Sean $a_1,a_2,\cdots,a_{41}\in\mathbb{R},$ tales que $a_{41}=a_1, \sum_{i=1}^{40}a_i=0,$ y para cualquier $i=1,2,\cdots,40, |a_i-a_{i+1}|\leq 1.$ Determine el mayor valor posible de $(1)a_{10}+a_{20}+a_{30}+a_{40};$ $(2)a_{10}\cdot a_{20}+a_{30}\cdot a_{40}.$

Dado un grafo simple conectado con $n$ vértices y $m$ aristas. Demuestre que uno puede encontrar al menos $m$ formas de separar el conjunto de vértices en dos partes, de modo que los subgrafos inducidos en ambas partes estén conectados.

Sean $a_1,a_2,\cdots,a_n$ una permutación de $1,2,\cdots,n$ . Entre todas las permutaciones posibles, encuentre el mínimo de $$\sum_{i=1}^n \min \{ a_i,2i-1 \}.$$

Demuestre que la siguiente ecuación tiene finitamente muchas soluciones $(t,A,x,y,z)$ en enteros positivos $$\sqrt{t(1-A^{-2})(1-x^{-2})(1-y^{-2})(1-z^{-2})}=(1+x^{-1})(1+y^{-1})(1+z^{-1})$$

Para un conjunto finito no vacío $A$ de enteros positivos, sea $\text{lcm}(A)$ denota el mínimo común múltiplo de los elementos en $A$ , y sea $d(A)$ denota el número de factores primos de $\text{lcm}(A)$ (contando multiplicidad). Dado un conjunto finito $S$ de enteros positivos, y $$f_S(x)=\sum_{\emptyset \neq A \subset S} \frac{(-1)^{|A|} x^{d(A)}}{\text{lcm}(A)}.$$ Demuestre que, si $0 \le x \le 2$ , entonces $-1 \le f_S(x) \le 0$ .

Dado un triángulo isósceles $\triangle ABC$ , $AB=AC$ . Una línea pasa por $M$ , el punto medio de $BC$ , e intersecta el segmento $AB$ y el rayo $CA$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Sea $F$ un punto de $ME$ tal que $EF=DM$ , y $K$ un punto en $MD$ . Sea $\Gamma_1$ el círculo que pasa por $B,D,K$ y $\Gamma_2$ el círculo que pasa por $C,E,K$ . $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se intersecan nuevamente en $L \neq K$ . Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ la circunferencia circunscrita de $\triangle LDE$ y $\triangle LKM$ . Demuestre que, si $\omega_1$ y $\omega_2$ son simétricas con respecto a $L$ , entonces $BF$ es perpendicular a $BC$ .

Sea $\omega$ una raíz primitiva $n$-ésima de la unidad. Dados los números complejos $a_1,a_2,\cdots,a_n$ , y $p$ de ellos son distintos de cero. Sea $$b_k=\sum_{i=1}^n a_i \omega^{ki}$$ para $k=1,2,\cdots, n$ . Demuestre que si $p>0$ , entonces al menos $\tfrac{n}{p}$ números en $b_1,b_2,\cdots,b_n$ son distintos de cero.

En Qingqing Grassland, hay 7 ovejas numeradas $1,2,3,4,5,6,7$ y 2017 lobos numerados $1,2,\cdots,2017$ . Tenemos las siguientes reglas extrañas: (1) Define $P(n)$ : el número de números primos que son menores que $n$ . Solo cuando $P(i)\equiv j\pmod7$ , el lobo $i$ puede comerse a la oveja $j$ (también puede elegir no comerse a la oveja). (2) Si el lobo $i$ se come a la oveja $j$ , inmediatamente se convertirá en la oveja $j$ . (3) Si un lobo puede asegurarse de no ser comido, realmente quiere experimentar la vida como una oveja. Asume que todos los lobos son muy inteligentes, entonces, ¿cuántos lobos permanecerán al final?

Sea \(n>1\) un entero, y sean \(x_1, x_2, ..., x_n\) números reales que satisfacen \(x_1, x_2, ..., x_n \in [0,n]\) con \(x_1x_2...x_n = (n-x_1)(n-x_2)...(n-x_n)\) . Encuentra el valor máximo de \(y = x_1 + x_2 + ... + x_n\) .

Define $S_r(n)$ : suma de los dígitos de $n$ en base $r$ . Por ejemplo, $38=(1102)_3,S_3(38)=1+1+0+2=4$ . Demuestra: (a) Para cualquier $r>2$ , existe un primo $p$ , para cualquier entero positivo $n$ , $S_{r}(n)\equiv n\mod p$ . (b) Para cualquier $r>1$ y primo $p$ , existen infinitos $n$ , $S_{r}(n)\equiv n\mod p$.