Encontrar una terna $(l, m, n)$ de enteros positivos $(1<l<m<n)$ , tal que $\sum_{k=1}^{l}k, \sum_{k=l+1}^{m}k, \sum_{k=m+1}^{n}k$ formen una secuencia geométrica en orden.

Sea $n\geq 2$ un entero dado. Inicialmente, escribimos $n$ conjuntos en la pizarra y hacemos una secuencia de movimientos de la siguiente manera: elige dos conjuntos $A$ y $B$ en la pizarra tal que ninguno de ellos sea un subconjunto del otro, y reemplaza $A$ y $B$ por $A\cap B$ y $A\cup B$ . Esto se llama un $\textit{movimiento}$ . Encuentra el número máximo de movimientos en una secuencia para todos los conjuntos iniciales posibles.

Sean $x_1,x_2,\cdots,x_n \in(0,1)$ , $n\geq2$ . Demuestra que $$\frac{\sqrt{1-x_1}}{x_1}+\frac{\sqrt{1-x_2}}{x_2}+\cdots+\frac{\sqrt{1-x_n}}{x_n}<\frac{\sqrt{n-1}}{x_1 x_2 \cdots x_n}.$$

Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos círculos que no se superponen. $A,C$ están en $\Gamma_1$ y $B,D$ están en $\Gamma_2$ tal que $AB$ es una tangente común externa a los dos círculos, y $CD$ es una tangente común interna a los dos círculos. $AC$ y $BD$ se encuentran en $E$ . $F$ es un punto en $\Gamma_1$ , la línea tangente a $\Gamma_1$ en $F$ se encuentra con la bisectriz perpendicular de $EF$ en $M$ . $MG$ es una línea tangente a $\Gamma_2$ en $G$ . Demuestra que $MF=MG$ .

Determina el número de triángulos rectángulos distintos tales que sus tres lados son de longitudes integrales, y su área es $999$ veces su perímetro. (Los triángulos congruentes se consideran idénticos).

Sea $g(n)$ el máximo común divisor de $n$ y $2015$ . Encuentra el número de triples $(a,b,c)$ que satisfacen las siguientes dos condiciones: $1)$ $a,b,c \in$ { $1,2,...,2015$ } ; $2)$ $g(a),g(b),g(c),g(a+b),g(b+c),g(c+a),g(a+b+c)$ son distintos por pares.

En una cuadrícula de $12\times 12$ , colorea cada cuadrado unitario con negro o blanco, de tal manera que haya al menos un cuadrado unitario negro en cualquier rectángulo de $3\times 4$ y $4\times 3$ limitado por las líneas de la cuadrícula. Determina, con prueba, el número mínimo de cuadrados unitarios negros.

Sea $a\in(0,1)$ , $f(x)=ax^3+(1-4a)x^2+(5a-1)x-5a+3 $ , $g(x)=(1-a)x^3-x^2+(2-a)x-3a-1 $ . Demuestra que: Para cualquier número real $x$ , al menos uno de $|f(x)|$ y $|g(x)|$ no es menor que $a+1$ .

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB>AC$ , sea $O$ su circuncentro y $D$ el punto medio del lado $BC$ . El círculo con diámetro $AD$ se encuentra con los lados $AB,AC$ nuevamente en los puntos $E,F$ respectivamente. La línea que pasa por $D$ paralela a $AO$ se encuentra con $EF$ en $M$ . Demuestra que $EM=MF$ .

Sean $m, n$ enteros positivos, define: $f(x)=(x-1)(x^2-1)\cdots(x^m-1)$ , $g(x)=(x^{n+1}-1)(x^{n+2}-1)\cdots(x^{n+m}-1)$ . Demuestra que existe un polinomio $h(x)$ de grado $mn$ tal que $f(x)h(x)=g(x)$ , y sus $mn+1$ coeficientes son todos enteros positivos.