Hay $99$ estaciones espaciales. Cada par de estaciones espaciales está conectado por un túnel. Hay $99$ túneles principales de dos vías, y todos los demás túneles son estrictamente de una sola vía. Un grupo de $4$ estaciones espaciales se llama conectado si se puede llegar a cada estación del grupo desde cualquier otra estación del grupo sin usar ningún túnel que no sean los $6$ túneles que los conectan. Determine el número máximo de grupos conectados.

Sea $a$ un número real. Sea $(f_n(x))_{n\ge 0}$ una secuencia de polinomios tal que $f_0(x)=1$ y $f_{n+1}(x)=xf_n(x)+f_n(ax)$ para todos los enteros no negativos $n$. \na) Demuestre que $f_n(x)=x^nf_n\left(x^{-1}\right)$ para todos los enteros no negativos $n$. \nb) Encuentre una expresión explícita para $f_n(x)$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $\angle C>\angle B$. Sea $D$ un punto en $BC$ tal que $\angle ADB$ es obtuso, y sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABD$. Suponga que $F$ es un punto dentro del triángulo $ABC$ que está en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$. Demuestre que $F$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ si y solo si $HD||CF$ y $H$ está en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$.

Sean enteros positivos $m,n$ que satisfacen $n=2^m-1$ . $P_n =\{1,2,\cdots ,n\}$ es un conjunto que contiene $n$ puntos en un eje. Un saltamontes en el eje puede saltar de un punto a otro punto adyacente. Encontrar el valor máximo de $m$ que satisface las siguientes condiciones: (a) $x, y$ son dos puntos arbitrarios en $P_n$ ; (b) comenzando en el punto $x$ , el saltamontes salta $2012$ veces y termina en el punto $y$ ; (se le permite al saltamontes viajar $x$ e $y$ más de una vez) (c) hay un número par de maneras para que el saltamontes haga (b).

En $\triangle ABC$ , el punto $D$ está en el lado $AC$ tal que $\angle ABD=\angle C$ . El punto $E$ está en el lado $AB$ tal que $BE=DE$ . $M$ es el punto medio del segmento $CD$ . El punto $H$ es el pie de la perpendicular desde $A$ a $DE$ . Dado $AH=2-\sqrt{3}$ y $AB=1$ , encontrar el tamaño de $\angle AME$ .

Encontrar el menor número natural $n$ , tal que la siguiente desigualdad se cumple : $\sqrt{\dfrac{n-2011}{2012}}-\sqrt{\dfrac{n-2012}{2011}}<\sqrt[3]{\dfrac{n-2013}{2011}}-\sqrt[3]{\dfrac{n-2011}{2013}}$ .

Un entero no negativo $m$ se llama 'número seis-compuesto' si $m$ y la suma de sus dígitos son ambos múltiplos de $6$ . ¿Cuántos 'números seis-compuestos' que son menores que $2012$ hay?

Sean $a, b, c, d$ números reales que satisfacen la desigualdad $a\cos x+b\cos 2x+c\cos 3x+d\cos 4x\le 1$ que se cumple para un número real arbitrario $x$ . Encontrar el valor máximo de $a+b-c+d$ y determinar los valores de $a,b,c,d$ cuando se alcanza ese máximo.

Para un número compuesto $n$ , sea $f(n)$ la suma de los tres divisores más pequeños de $n$ , y $g(n)$ la suma de los dos divisores más grandes de $n$ . Encontrar todos los números compuestos $n$ , tales que $g(n)=(f(n))^m$ ( $m\in N^*$ ).

La circunferencia inscrita $I$ del $\triangle ABC$ es tangente a los lados $AB,BC,CA$ en $D,E,F$ respectivamente. La línea $EF$ intersecta las líneas $AI,BI,DI$ en $M,N,K$ respectivamente. Demostrar que $DM\cdot KE=DN\cdot KF$.