Dado un entero $k$ . $f(n)$ está definida en el conjunto de enteros negativos y sus valores son enteros. $f(n)$ satisface \[ f(n)f(n+1)=(f(n)+n-k)^2, \] para $n=-2,-3,\cdots$ . Encuentra una expresión de $f(n)$ .

Encuentra todos los números naturales $n (n \geq 2)$ tales que existen reales $a_1, a_2, \dots, a_n$ que satisfacen \[ \{ |a_i - a_j| \mid 1\leq i<j \leq n\} = \left\{1,2,\dots,\frac{n(n-1)}{2}\right\}. \] Sean $A=\{1,2,3,4,5,6\}, B=\{7,8,9,\dots,n\}$ . $A_i(i=1,2,\dots,20)$ contiene ocho números, tres de los cuales son elegidos de $A$ y los otros cinco números de $B$ . $|A_i \cap A_j|\leq 2, 1\leq i<j\leq 20$ . Encuentra el valor mínimo posible de $n$ .

Diecisiete aficionados al fútbol planeaban ir a Corea a ver el partido de la Copa Mundial de fútbol. Seleccionaron 17 partidos. Las condiciones de las entradas que reservaron fueron tales que:\n- Una persona debe reservar como máximo una entrada para un partido;\n- A lo sumo un partido fue el mismo en las entradas reservadas por cada dos personas;\n- Hubo una persona que reservó seis entradas.\n¿Cuántas entradas reservaron como máximo esos aficionados al fútbol?

Sea $ \left(a_{n}\right)$ la sucesión de reales definida por $ a_{1}=\frac{1}{4}$ y la recurrencia $ a_{n}= \frac{1}{4}(1+a_{n-1})^{2}, n\geq 2$ . Encontrar el mínimo real $ \lambda$ tal que para cualquier real no negativo $ x_{1},x_{2},\dots,x_{2002}$ , se cumple \[ \sum_{k=1}^{2002}A_{k}\leq \lambda a_{2002}, \] donde $ A_{k}= \frac{x_{k}-k}{(x_{k}+\cdots+x_{2002}+\frac{k(k-1)}{2}+1)^{2}}, k\geq 1$ .

Sean $E$ y $F$ las intersecciones de los lados opuestos de un cuadrilátero convexo $ABCD$. Las dos diagonales se intersecan en $P$. Sea $O$ el pie de la perpendicular desde $P$ a $EF$. Demostrar que $\angle BOC=\angle AOD$.

En una cuadrícula de $100\times 100$ cuadrados, hay un ratón en el cuadrado superior izquierdo, y hay un trozo de queso en el cuadrado inferior derecho. El ratón quiere moverse al cuadrado inferior derecho para comerse el queso. Para cada paso, el ratón puede moverse de un cuadrado a un cuadrado adyacente (dos cuadrados se consideran adyacentes si comparten un borde común). Ahora, cualquier divisor puede colocarse en el borde común de dos cuadrados adyacentes de tal manera que el ratón no pueda moverse directamente entre estos dos cuadrados adyacentes. Una colocación de divisores se llama 'amable' si el ratón todavía puede alcanzar el queso después de que los divisores se colocan. Encuentre el entero positivo más pequeño $n$ tal que, independientemente de cualquier colocación 'amable' de $2023$ divisores, el ratón puede alcanzar el queso en a lo más $n$ pasos.

Para enteros positivos $x, y, $ $r_x(y)$ representa el entero positivo más pequeño $ r $ tal que $ r \equiv y(\text{mod x})$ . Para cualquier entero positivo $a, b, n ,$ Pruebe que $$\sum_{i=1}^{n} r_b(a i)\leq \frac{n(a+b)}{2}$$

Como se muestra en la figura, sea el punto $E$ la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$ del cuadrilátero cíclico $ABCD$ . El circuncentro del triángulo $ABE$ se denota como $K$ . El punto $X$ es la reflexión del punto $B$ con respecto a la línea $CD$ , y el punto $Y$ es el punto en el plano tal que el cuadrilátero $DKEY$ es un paralelogramo. Pruebe que los puntos $D,E,X,Y$ son concíclicos.

Sean $a_1,a_2,\cdots,a_{100}\geq 0$ tales que $\max\{a_{i-1}+a_i,a_i+a_{i+1}\}\geq i $ para cualquier $2\leq i\leq 99.$ Encuentre el mínimo de $a_1+a_2+\cdots+a_{100}.$

Sea ${p}$ un primo. $a,b,c\in\mathbb Z,\gcd(a,p)=\gcd(b,p)=\gcd(c,p)=1.$ Pruebe que: $\exists x_1,x_2,x_3,x_4\in\mathbb Z,| x_1|,|x_2|,|x_3|,|x_4|<\sqrt p,$ satisfaciendo $$ax_1x_2+bx_3x_4\equiv c\pmod p.$$