En $\triangle ABC$ , los puntos $P,Q$ satisfacen $\angle PBC = \angle QBA$ y $\angle PCB = \angle QCA$ , $D$ es un punto en $BC$ tal que $\angle PDB=\angle QDC$ . Sean $X,Y$ las reflexiones de $A$ con respecto a las líneas $BP$ y $CP$ , respectivamente. Pruebe que $DX=DY$ .

En un cierto país hay $2023$ islas y $2022$ puentes, de tal manera que cada puente conecta dos islas diferentes y cualesquiera dos islas tienen a lo más un puente en común, y desde cualquier isla, usando puentes uno puede llegar a cualquier otra isla. Si en cualesquiera tres islas hay una isla con puentes conectados a cada una de las otras dos islas, llamamos a estas tres islas un 'grupo de islas'. Sabemos que cualesquiera dos 'grupos de islas' tienen al menos $1$ isla en común. ¿Cuál es el número mínimo de islas con sólo $1$ puente conectado a ella?

¿Existen enteros diferentes $a,b,c,d,e,f$ tales que sean las $6$ raíces de $$(x+a)(x^2+bx+c)(x^3+dx^2+ex+f)=0?$$

Sea una figura espacial que consta de $n$ vértices y $l$ líneas que conectan estos vértices, con $n=q^2+q+1$, $l\ge q^2(q+1)^2+1$, $q\ge2$, $q\in\mathbb{N}$. Suponga que la figura satisface las siguientes condiciones: cada cuatro vértices no son coplanares, cada vértice está conectado por al menos una línea, y hay un vértice conectado por al menos $p+2$ líneas. Demuestra que existe un cuadrilátero espacial en la figura, es decir, un cuadrilátero con cuatro vértices $A, B, C, D$ y cuatro líneas $ AB, BC, CD, DA$ en la figura.

Sean los tres lados de un triángulo $\ell, m, n$, respectivamente, que satisfacen $\ell>m>n$ y $\left\{\frac{3^\ell}{10^4}\right\}=\left\{\frac{3^m}{10^4}\right\}=\left\{\frac{3^n}{10^4}\right\}$, donde $\{x\}=x-\lfloor{x}\rfloor$ y $\lfloor{x}\rfloor$ denota la parte entera del número $x$. Encuentra el perímetro mínimo de tal triángulo.

Desde un punto $P$ fuera de un círculo se dibujan dos tangentes al círculo que tocan en $A$ y $B$. Se dibuja una línea secante que interseca al círculo en los puntos $C$ y $D$, con $C$ entre $P$ y $D$. Se elige un punto $Q$ en la cuerda $CD$ tal que $\angle DAQ=\angle PBC$. Demuestra que $\angle DBQ=\angle PAC$.

Suponga que $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ son enteros positivos distintos tales que\n\[(n + 1)a_1^n + na_2^n + (n - 1)a_3^n|(n + 1)b_1^n + nb_2^n + (n - 1)b_3^n\]\nse cumple para todos los enteros positivos $n$. Demuestra que existe $k\in N$ tal que $ b_i = ka_i$ para $ i = 1,2,3$.

Hay una baraja de cartas colocadas en cada punto $A_1, A_2, \ldots , A_n$ y $O$, donde $n \geq 3$. Podemos hacer una de las siguientes dos operaciones en cada paso: $1)$ Si hay más de 2 cartas en algunos puntos $A_i$, podemos retirar tres cartas de esa baraja y colocar una en $A_{i-1}, A_{i+1}$ y $O$. (Aquí $A_0=A_n$ y $A_{n+1}=A_1$ ) ; $2)$ Si hay más de o igual a $n$ cartas en el punto $O$, podemos retirar $n$ cartas de esa baraja y colocar una en cada $A_1, A_2, \ldots , A_n$. Muestra que si el número total de cartas es más de o igual a $n^2+3n+1$, podemos hacer que el número de cartas en cada punto sea más de o igual a $n+1$ después de un número finito de pasos.

Sean $m,n\ge 1$ y $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ enteros. Demuestra que existe un subconjunto $T$ de $\mathbb{N}$ tal que\n\[|T| \leq 1+ \frac{a_n-a_1}{2n+1}\]\ny para cada $i \in \{1,2,\ldots , m\}$, existe $t \in T$ y $s \in [-n,n]$, tal que $a_i=t+s$.

Dados números complejos $a,b,c$, tenemos que $|az^2 + bz +c| \leq 1$ se cumple para cualquier número complejo $z, |z| \leq 1$. Encuentra el valor máximo de $|bc|$.