Sea $p$ un primo impar. Suponga que los enteros positivos $a,b,m,r$ satisfacen $p\nmid ab$ y $ab > m^2$ . Demuestra que existe a lo sumo un par de enteros positivos coprimos $(x,y)$ tales que $ax^2+by^2=mp^r$ .

Sean $x_i\ (i = 1, 2, \cdots 22)$ reales tales que $x_i \in [2^{i-1},2^i]$ . Encuentra el valor máximo posible de $$(x_1+x_2+\cdots +x_{22})(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_{22}})$$

Sea $\Delta ABC$ un triángulo acutángulo con $AB < AC$ , $H$ un punto en $BC$ tal que $AH\ \bot\ BC$ y $G$ el centroide de $\Delta ABC$ . Sean $P,Q$ el punto de tangencia del círculo inscrito de $\Delta ABC$ con $AB,AC$ , correspondientemente. Define $M,N$ como el punto medio de $PB,QC$ , correspondientemente. Sean $D,E$ puntos en el círculo inscrito de $\Delta ABC$ tales que $\angle BDH + \angle ABC = 180^{\circ}$ , $\angle CEH + \angle ACB = 180^{\circ}$ . Demuestra que las líneas $MD,NE,HG$ comparten un punto común.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en algún círculo $\omega$ con $AC\ \bot\ BD$ . Define $E$ como la intersección de los segmentos $AC$ y $BD$ . Sea $F$ algún punto en el segmento $AD$ y define $P$ como el punto de intersección de la semirrecta $FE$ y $\omega$ . Sea $Q$ un punto en el segmento $PE$ tal que $PQ\cdot PF = PE^2$ . Sea $R$ un punto en $BC$ tal que $QR\ \bot\ AD$ . Demuestra que $PR=QR$ .

Sean $a,b,c,d \in [0,1] .$ Demuestra que $$\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+d}+\frac{1}{1+d+a}\leq \frac{4}{1+2\sqrt[4]{abcd}}$$

En un tablero de ajedrez de $8\times 8$, se coloca un palo en cada borde de cada cuadrícula (en un borde común de dos cuadrículas solo se colocará un palo). ¿Cuál es el número mínimo de palos que se deben eliminar para que los palos restantes no formen ningún rectángulo?

Encuentra todos los pares $(a,b,c)$ de enteros positivos tales que $$\frac{a}{2^a}=\frac{b}{2^b}+\frac{c}{2^c}$$

El sistema de código de una nueva 'cerradura MO' es un $n$-gono regular, cada vértice etiquetado con un número $0$ o $1$ y coloreado de rojo o azul. Se sabe que para dos vértices adyacentes cualesquiera, o sus números o sus colores coinciden. Encuentra el número de todos los códigos posibles (en términos de $n$).

Sea $n>2$ un entero fijo. Reales positivos $a_i\le 1$ (para todo $1\le i\le n$). Para todo $k=1,2,...,n$, sea $A_k=\frac{\sum_{i=1}^{k}a_i}{k}$. Demuestra que $|\sum_{k=1}^{n}a_k-\sum_{k=1}^{n}A_k|<\frac{n-1}{2}$.

Dado un entero fijo $k>0, r=k+0.5$, define $f^1(r)=f(r)=r[r], f^l(r)=f(f^{l-1}(r))(l>1)$ donde $[x]$ denota el entero más pequeño no menor que $x$. Demuestra que existe un entero $m$ tal que $f^m(r)$ es un entero.