Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que existe una secuencia que consiste en $1$ y $ - 1: a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ satisfaciendo $ a_{1}\cdot1^2 + a_{2}\cdot2^2 + \cdots + a_{n}\cdot n^2 = 0.$

$u,v,w > 0$, tal que $u + v + w + \sqrt {uvw} = 4$ pruebe que $ \sqrt {\frac {uv}{w}} + \sqrt {\frac {vw}{u}} + \sqrt {\frac {wu}{v}}\geq u + v + w$

Pruebe que para cualquier entero positivo $n$, existe solo un polinomio de grado $n$, $f(x)$, satisfaciendo $f(0) = 1$ y $ (x + 1)[f(x)]^2 - 1$ es una función impar.

Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$. Sean $M,N$ los puntos medios de $AB,AC$, respectivamente. Los puntos $D,E$ están en $AB,AC$ respectivamente tales que $BD=CE=BC$. La línea perpendicular a $IM$ que pasa por $D$ interseca la línea perpendicular a $IN$ que pasa por $E$ en $P$. Pruebe que $AP\perp BC$.

Cuando todos los ángulos de los vértices de un polígono convexo son iguales, se le llama equiangular. Pruebe que $p > 2$ es un número primo, si y solo si las longitudes de todos los lados de un polígono equiangular de $p$ lados son números racionales, es un polígono regular de $p$ lados.

Sea $n$ un entero positivo, sea $A$ un subconjunto de $ \{1, 2, \cdots, n\}$ , satisfaciendo para cualquier par de números $x, y\in A$, el mínimo común múltiplo de $x$, $y$ no es mayor que $n$. Demuestre que $ |A|\leq 1.9\sqrt {n} + 5$.

Sean $x_1, \ldots, x_n$ sean $n>1$ números reales satisfaciendo $A=\left |\sum^n_{i=1}x_i\right |\not =0$ y $B=\max_{1\leq i<j\leq n}|x_j-x_i|\not =0$. Pruebe que para cualquier $n$ vectores $\vec{\alpha_i}$ en el plano, existe una permutación $(k_1, \ldots, k_n)$ de los números $(1, \ldots, n)$ tal que \[ \left |\sum_{i=1}^nx_{k_i}\vec{\alpha_i}\right | \geq \dfrac{AB}{2A+B}\max_{1\leq i\leq n}|\alpha_i|.\]

Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{Q}^{+} \mapsto \mathbb{Q}^{+}$ tales que: \[ f(x) + f(y) + 2xy f(xy) = \frac {f(xy)}{f(x+y)}.\]

Hay $63$ puntos arbitrariamente en el círculo $\mathcal{C}$ con su diámetro siendo $20$. Sea $S$ denote el número de triángulos cuyos vértices son tres de los $63$ puntos y la longitud de sus lados no es menor que $9$. Encuentre el máximo de $S$.

Un número racional $x$ se llama bueno si satisface: $x=\frac{p}{q}>1$ con $p$, $q$ siendo enteros positivos, $\gcd (p,q)=1$ y existe constantes $\alpha$, $N$ tal que para cualquier entero $n\geq N$, \[ |\{x^n\}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2(p+q)}\] Encuentre todos los números buenos.