Puntos $A$ y $B$ están en el círculo con centro $O$. Sea el punto $C$ fuera del círculo; sean $CS$ y $CT$ tangentes al círculo. Sea $M$ el punto medio del arco menor $AB$ de $(O)$. $MS, MT$ intersecan a $AB$ en los puntos $E, F$ respectivamente. Las líneas que pasan por $E, F$ perpendiculares a $AB$ cortan a $OS, OT$ en $X$ e $Y$ respectivamente. Una línea que pasa por $C$ interseca al círculo $(O)$ en $P, Q$ ($P$ está en el segmento $CQ$). Sea $R$ la intersección de $MP$ y $AB$, y sea $Z$ el circuncentro del triángulo $PQR$. Pruebe que: $X, Y, Z$ son colineales.

22 matemáticos se reúnen. Cada matemático tiene al menos $3$ amigos (los amigos son mutuos). Y cada matemático puede pasar su información a cualquier matemático a través de la transferencia entre amigos. ¿Es posible dividir a estos $22$ matemáticos en grupos de $2$ personas (es decir, dos personas en cada grupo, un total de $11$ grupos), de modo que los matemáticos en cada grupo sean amigos?

Sea $\{a_n\}$ una secuencia de términos positivos tal que $a_{n+1}=a_n+ \frac{n^2}{a_n}$ . Sea $b_n =a_n-n$ . (1) ¿Hay infinitos $n$ tales que $b_n \ge 0$ ? (2) Demuestra que existe un número positivo $M$ tal que $\sum^{\infty}_{n=3} \frac{b_n}{n+1}<M$ .

(1) Encuentra el entero positivo más pequeño $a$ tal que $221|3^a -2^a$ , (2) Sea $A=\{n\in N^*: 211|1+2^n+3^n+4^n\}$ . ¿Hay infinitos números $n$ tales que tanto $n$ como $n+1$ pertenecen al conjunto $A$ ?

Como se muestra en la figura, dado $\vartriangle ABC$ con $AB \perp AC$ , $AB=BC$ , $D$ es el punto medio del lado $AB$ , $DF\perp DE$ , $DE=DF$ y $BE \perp EC$ . Demuestra que $\angle AFD= \angle CEF$ .

Encuentre todos los pares de enteros $(a,b)$ tales que $n|( a^n + b^{n+1})$ para todo entero positivo $n$

En el triángulo $ABC$ con $AB>AC$ e incentro $I$ , la circunferencia inscrita toca a $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ respectivamente. $M$ es el punto medio de $BC$ , y la altura en $A$ se encuentra con $BC$ en $H$ . El rayo $AI$ se encuentra con las líneas $DE$ y $DF$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $M,L,H,K$ son concíclicos.

Sean $a,b,c > 0$ , demuestre que \[\frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)} + \frac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{(c-a)^2}{(b+c)(b+a)} \geq \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}\]

¿Existe algún entero impar $n \geq 3$ y $n$ números primos distintos $p_1 , p_2, \cdots p_n$ tales que todos $p_i + p_{i+1} (i = 1,2,\cdots , n$ y $p_{n+1} = p_{1})$ son cuadrados perfectos?

En un círculo $\Gamma_{1}$ , con centro en $O$ , $AB$ y $CD$ son dos cuerdas de diferente longitud que se intersecan en $E$ dentro de $\Gamma_{1}$ . Un círculo $\Gamma_{2}$ , con centro en $I$ es tangente a $\Gamma_{1}$ internamente en $F$ , y también tangente a $AB$ en $G$ y $CD$ en $H$ . Una línea $l$ que pasa por $O$ interseca a $AB$ y $CD$ en $P$ y $Q$ respectivamente tal que $EP = EQ$ . La línea $EF$ interseca a $l$ en $M$ . Pruebe que la línea que pasa por $M$ paralela a $AB$ es tangente a $\Gamma_{1}$