El punto $P_1, P_2,\cdots ,P_{2018} $ se coloca dentro o en el límite de un pentágono regular dado. Encuentra todos los métodos de colocación que se hacen para que $$S=\sum_{1\leq i<j\leq 2018}|P_iP_j| ^2$$ tome el valor máximo.

Se da un tablero de $n\times n$, con un entero escrito en cada cuadrícula. Para cada movimiento, puedo elegir cualquier cuadrícula, y sumar $1$ a los $2n-1$ números en su fila y columna. Encuentra el $N(n)$ más grande , tal que para cualquier elección inicial de enteros, puedo hacer un número finito de movimientos de modo que haya al menos $N(n)$ números pares en el tablero.

Dado una elipse que no es un círculo. (1) Demuestra que el rombo tangente a la elipse en sus cuatro lados con área mínima es único. (2) Construye este rombo usando un compás y una regla.

Sea $O$ el circuncentro de $\triangle ABC$ ( $AB<AC$ ) , y $D$ un punto en la bisectriz interna del ángulo $\angle BAC$ . El punto $E$ se encuentra en $BC$ , satisfaciendo $OE\parallel AD$ , $DE\perp BC$ . El punto $K$ se encuentra en $EB$ extendido tal que $EK=EA$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle ADK$ se encuentra con $BC$ en $P\neq K$ , y se encuentra con la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en $Q\neq A$ . Demuestra que $PQ$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ .

Llama a un conjunto de 3 enteros positivos $\{a,b,c\}$ un conjunto pitagórico si $a,b,c$ son las longitudes de los 3 lados de un triángulo rectángulo. Demuestra que para cualesquiera 2 conjuntos pitagóricos $P,Q$ , existe un entero positivo $m\ge 2$ y conjuntos pitagóricos $P_1,P_2,\ldots ,P_m$ tales que $P=P_1, Q=P_m$ , y $\forall 1\le i\le m-1$ , $P_i\cap P_{i+1}\neq \emptyset$ .

Sean $a,b,c,d,e\geq -1$ y $a+b+c+d+e=5$. Encuentra el valor máximo y mínimo de $S=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a).$

Asumir que $A_1, A_2, \ldots, A_8$ son ocho puntos tomados arbitrariamente en un plano. Para una línea dirigida $l$ tomada arbitrariamente en el plano, asumir que las proyecciones de $A_1, A_2, \ldots, A_8$ en la línea son $P_1, P_2, \ldots, P_8$ respectivamente. Si las ocho proyecciones son pares disjuntos, se pueden ordenar como $P_{i_1}, P_{i_2}, \ldots, P_{i_8}$ de acuerdo con la dirección de la línea $l.$ Así obtenemos una permutación para $1, 2, \ldots, 8,$ a saber, $i_1, i_2, \ldots, i_8.$ En la figura, esta permutación es $2, 1, 8, 3, 7, 4, 6, 5.$ Asumir que después de que estos ocho puntos se proyectan a cada línea dirigida en el plano, obtenemos el número de diferentes permutaciones como $N_8 = N(A_1, A_2, \ldots, A_8).$ Encontrar el valor máximo de $N_8.$

Un triángulo acutángulo $ABC$ tiene tres alturas $AD, BE$ y $CF$ respectivamente. Demostrar que el perímetro del triángulo $DEF$ no supera la mitad del perímetro del triángulo $ABC.$

Encontrar todos los pares de enteros positivos $ (x,y)$ tales que \[ x^y = y^{x - y}. \]

Hay $n \geq 2$ permutaciones $P_1, P_2, \ldots, P_n$ cada una siendo una permutación arbitraria de $ \{1,\ldots,n\}.$ Demostrar que \[ \sum^{n-1}_{i=1} \frac{1}{P_i + P_{i+1}} > \frac{n-1}{n+2}.\]