Una hoja es arrancada de una novela de bolsillo. La suma de los números de las páginas restantes es $15000$. ¿Cuáles son los números de página en la hoja arrancada?

Demuestre que cualquier triángulo que tenga dos bisectrices de ángulos internos iguales (cada una medida desde un vértice hasta el lado opuesto) es isósceles.

Tres círculos congruentes tienen un punto común $ O$ y se encuentran dentro de un triángulo dado. Cada círculo toca un par de lados del triángulo. Demuestre que el incentro y el circuncentro del triángulo y el punto común $ O$ son colineales.

Construya el $ \triangle ABC$ , dado $ h_a$ , $ h_b$ (las altitudes desde $ A$ y $ B$ ) y $ m_a$ , la mediana desde el vértice $ A$ .

Demuestre que si los coeficientes de la ecuación cuadrática $ ax^2+bx+c=0$ son enteros impares, entonces las raíces de la ecuación no pueden ser números racionales.

Encuentre una secuencia finita de 16 números tal que: (a) se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. (b) la suma de cualesquiera 7 términos consecutivos es $ -1$ , (c) la suma de cualesquiera 11 términos consecutivos es $ +1$ .

Si $ x$ , $ y$ , $ z$ , y $ n$ son números naturales, y $ n\geq z$ entonces pruebe que la relación $ x^n + y^n = z^n$ no se cumple.

Sea $ T$ el conjunto de todos los tripletes $ (a,b,c)$ de enteros tales que $ 1 \leq a < b < c \leq 6$ Para cada triplete $ (a,b,c)$ en $ T$ , tome el número $ a\cdot b \cdot c$ . Sume todos estos números correspondientes a todos los tripletes en $ T$ . Demuestre que la respuesta es divisible por 7.

Determine el número más grande en la secuencia infinita \[ 1, \sqrt[2]{2},\sqrt[3]{3},\sqrt[4]{4}, \dots, \sqrt[n]{n},\dots\]

Dados $ m$ y $ n$ como enteros positivos relativamente primos mayores que uno, demuestre que \[ \frac{\log_{10} m}{\log_{10} n}\] no es un número racional.