Sea $\mathbb{R}[x]$ el conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales. Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x]$ que satisfacen las siguientes condiciones: $f$ mapea el polinomio cero a sí mismo, para cualquier polinomio no nulo $P \in \mathbb{R}[x]$ , $\text{deg} \, f(P) \le 1+ \text{deg} \, P$ , y para cualesquiera dos polinomios $P, Q \in \mathbb{R}[x]$ , los polinomios $P-f(Q)$ y $Q-f(P)$ tienen el mismo conjunto de raíces reales.

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , $\angle ABD=30^\circ$ , $\angle BCA=75^\circ$ , $\angle ACD=25^\circ$ y $CD=CB$ . Extienda $CB$ para que se encuentre con la circunferencia circunscrita del triángulo $DAC$ en $E$ . Demuestre que $CE=BD$ .

Un Mago y un Detective juegan un juego. El Mago coloca cartas numeradas del $1$ al $52$ boca abajo sobre una mesa. En cada movimiento, el Detective puede señalar dos cartas e indagar si los números en ellas son consecutivos. El Mago responde con la verdad. Después de un número finito de movimientos, el Detective señala dos cartas. Ella gana si los números en estas dos cartas son consecutivos, y pierde en caso contrario. Demuestre que el Detective puede garantizar una victoria si y solo si se le permite hacer al menos $50$ preguntas.

Betal marca $2021$ puntos en el plano de tal manera que no hay tres colineales, y dibuja todos los segmentos posibles que los unen. Luego elige $1011$ de estos segmentos y marca sus puntos medios. Finalmente, elige un segmento cuyo punto medio aún no está marcado, y desafía a Vikram a construir su punto medio usando solo una regla. ¿Puede Vikram siempre completar este desafío? Nota. Una regla es una regla infinitamente larga sin marcas, que solo se puede utilizar para dibujar la línea que une dos puntos distintos dados.

Encuentre todos los pares de enteros $(a,b)$ tales que cada uno de los dos polinomios cúbicos $$x^3+ax+b \, \, \text{y} \, \, x^3+bx+a$$ tenga todas sus raíces enteras.

Suponga que $r \ge 2$ es un entero, y sean $m_1, n_1, m_2, n_2, \dots, m_r, n_r$ $2r$ enteros tales que $$\left|m_in_j-m_jn_i\right|=1$$ para cualquier par de enteros $i$ y $j$ que satisfacen $1 \le i<j \le r$ . Determine el valor máximo posible de $r$ .

En un triángulo $ABC$ , con $AB \ne BC$ , $E$ es un punto en la línea $AC$ tal que $BE$ es perpendicular a $AC$ . Un círculo que pasa por $A$ y toca la línea $BE$ en un punto $P \ne B$ interseca la línea $AB$ por segunda vez en $X$ . Sea $Q$ un punto en la línea $PB$ diferente de $P$ tal que $BQ = BP$ . Sea $Y$ el punto de intersección de las líneas $CP$ y $AQ$ . Prueba que los puntos $C, X, Y, A$ son concíclicos si y sólo si $CX$ es perpendicular a $AB$ .

Sea $n \ge 2$ un entero y $f_1(x), f_2(x), \ldots, f_{n}(x)$ una secuencia de polinomios con coeficientes enteros. Se permite hacer movimientos $M_1, M_2, \ldots $ de la siguiente manera: en el $k$ - ésimo movimiento $M_k$ uno elige un elemento $f(x)$ de la secuencia con grado de $f$ al menos $2$ y lo reemplaza con $(f(x) - f(k))/(x-k)$ . El proceso se detiene cuando todos los elementos de la secuencia son de grado $1$ . Si $f_1(x) = f_2(x) = \cdots = f_n(x) = x^n + 1$ , determina si es posible o no hacer los movimientos apropiados de manera que el proceso se detenga con una secuencia de $n$ polinomios idénticos de grado 1.

Un entero positivo $a$ se llama un número doble si tiene un número par de dígitos (en base 10) y su representación en base 10 tiene la forma $a = a_1a_2 \cdots a_k a_1 a_2 \cdots a_k$ con $0 \le a_i \le 9$ para $1 \le i \le k$ , y $a_1 \ne 0$ . Por ejemplo, $283283$ es un número doble. Determina si hay o no infinitos números dobles $a$ tales que $a + 1$ es un cuadrado y $a + 1$ no es una potencia de $10$ .

Sea $h \ge 3$ un entero y $X$ el conjunto de todos los enteros positivos que son mayores o iguales que $2h$ . Sea $S$ un subconjunto no vacío de $X$ tal que se cumplen las dos condiciones siguientes: si $a + b \in S$ con $a \ge h, b \ge h$ , entonces $ab \in S$ ; si $ab \in S$ con $a \ge h, b \ge h$ , entonces $a + b \in S$ . Prueba que $S = X$ .