Encuentre todas las funciones reales $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que $f(x^2+yf(x))=xf(x+y)$.

Para cualquier número natural $n > 1$, escriba la expansión decimal finita de $\frac{1}{n}$ (por ejemplo, escribimos $\frac{1}{2}=0.4\overline{9}$ como su expansión decimal infinita no $0.5$). Determine la longitud de la parte no periódica de la expansión decimal (infinita) de $\frac{1}{n}$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle{B}=90^{\circ}$. Sea $BD$ la altura desde $B$ sobre $AC$. Sean $P, Q$ e $I$ los incentros de los triángulos $ABD, CBD$ y $ABC$ respectivamente. Demuestre que el circuncentro del triángulo $PIQ$ se encuentra en la hipotenusa $AC$.

Si $a,b,c$ son números reales positivos tales que $a+b+c = 1$, demuestra que \[ (1+a)(1+b)(1+c) \geq 8 (1-a)(1-b)(1-c) . \]

Encuentra el número de racionales $\frac{m}{n}$ tales que (i) $0 < \frac{m}{n} < 1$ ; (ii) $m$ y $n$ son relativamente primos; (iii) $mn = 25!$.

Sean $AC$ y $BD$ dos cuerdas de un círculo con centro $O$ tales que se intersecan en ángulo recto dentro del círculo en el punto $M$. Supongamos que $K$ y $L$ son los puntos medios de las cuerdas $AB$ y $CD$ respectivamente. Demuestra que $OKML$ es un paralelogramo.

Sea $A$ un conjunto de $16$ enteros positivos con la propiedad de que el producto de dos miembros distintos cualesquiera de $A$ no excederá 1994. Demuestra que hay números $a$ y $b$ en el conjunto $A$ tales que el mcd de $a$ y $b$ es mayor que 1.

Resuelve el sistema de ecuaciones para $x$ e $y$ reales: \begin{eqnarray*} 5x \left( 1 + \frac{1}{x^2 + y^2}\right) &=& 12 \\ 5y \left( 1 - \frac{1}{x^2+y^2} \right) &=& 4 . \end{eqnarray*}

Encuentra todos los números de 6 dígitos $a_1a_2a_3a_4a_5a_6$ formados usando los dígitos $1,2,3,4,5,6$ una vez cada uno, de tal manera que el número $a_1a_2a_2\ldots a_k$ es divisible por $k$ para $1 \leq k \leq 6$.

En un triángulo $ABC$, la circunferencia inscrita toca los lados $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ respectivamente. Si el radio de la circunferencia inscrita es de $4$ unidades y si $BD, CE, AF$ son enteros consecutivos, encuentra los lados del triángulo $ABC$.