Encuentre todas las funciones $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ tales que \n\[ f(x^2 + yf(z)) = xf(x) + zf(y) , \]\npara todo $x, y, z \in \mathbb{R}$.

Todos los posibles números de $6$ dígitos, en cada uno de los cuales los dígitos ocurren en orden no creciente (de izquierda a derecha, por ejemplo, $877550$) se escriben como una secuencia en orden creciente. Encuentre el número $2005$ - ésimo en esta secuencia.

Sean $p, q, r$ números reales positivos, no todos iguales, tales que algunas dos de las ecuaciones \n\begin{eqnarray*}\npx^2 + 2qx + r &=& 0 \\\nqx^2 + 2rx + p &=& 0 \\\nrx^2 + 2px + q &=& 0 . \\\n\end{eqnarray*}\ntienen una raíz común, digamos $\alpha$. Pruebe que $a)$ $\alpha$ es real y negativo; $b)$ la tercera ecuación cuadrática restante tiene raíces no reales.

Sean $\alpha$ y $\beta$ enteros positivos tales que $\dfrac{43}{197} < \dfrac{ \alpha }{ \beta } < \dfrac{17}{77}$. Encuentre el mínimo valor posible de $\beta$.

Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ de un triángulo $ABC$. Sea la mediana $AM$ que intersecta a la circunferencia inscrita de $ABC$ en $K$ y $L, K$ estando más cerca de $A$ que $L$. Si $AK = KL = LM$, probar que los lados del triángulo $ABC$ están en la razón $5 : 10 : 13$ en algún orden.

Sea $ A$ uno de los dos puntos de intersección de dos círculos con centros $ X, Y$ respectivamente. Las tangentes en $ A$ a los dos círculos se encuentran con los círculos de nuevo en $ B, C$ . Sea un punto $ P$ ubicado de manera que $ PXAY$ sea un paralelogramo. Demuestra que $ P$ es también el circuncentro del triángulo $ ABC$ .

El triángulo $ ABC$ tiene incentro $ I$ y el incírculo toca a $ BC, CA$ en $ D, E$ respectivamente. Sea $ BI$ intersectar a $ DE$ en $ G$ . Demuestra que $ AG$ es perpendicular a $ BG$ .

Para enteros positivos $ n$ , define $ A(n)$ como $ \frac {(2n)!}{(n!)^{2}}$ . Determina los conjuntos de enteros positivos $ n$ para los cuales (a) $ A(n)$ es un número par, (b) $ A(n)$ es un múltiplo de $ 4$ .

Determina todos los $n \in \mathbb{N}$ para los cuales $n$ no es el cuadrado de ningún entero, $ \lfloor \sqrt{n}\rfloor ^3$ divide a $n^2$ .

Sea $ A$ un subconjunto del conjunto $ \{ 1,11,21,31, \dots ,541,551 \}$ que tiene la propiedad de que ningún par de elementos de $ A$ suman $ 552$ . Demuestra que $ A$ no puede tener más de $ 28$ elementos.