Determina el número de valores integrales positivos de $p$ para los cuales existe un triángulo con lados $a,b,$ y $c$ que satisfacen $$a^2 + (p^2 + 9)b^2 + 9c^2 - 6ab - 6pbc = 0.$$

Considera la rejilla de puntos $X = \{(m,n) | 0 \leq m,n \leq 4 \}$. Decimos que un par de puntos $\{(a,b),(c,d)\}$ en $X$ es un par de movimiento de caballo si $( c = a \pm 2$ y $d = b \pm 1)$ o $( c = a \pm 1$ y $d = b \pm 2)$. El número de pares de movimiento de caballo en $X$ es:

Sea $n$ el entero más pequeño tal que la suma de los dígitos de $n$ es divisible por $5$ así como la suma de los dígitos de $(n+1)$ es divisible por $5$. ¿Cuáles son los dos primeros dígitos de $n$ en el mismo orden?

Determina la suma de todas las posibles áreas de superficie de un cubo dos de cuyos vértices son $(1,2,0)$ y $(3,3,2)$.

Encuentra el número de ternas de números reales $(a,b,c)$ tales que $a^{20} + b^{20} + c^{20} = a^{24} + b^{24} + c^{24} =1$.

Sean $a = \frac{x}{y} +\frac{y}{z} +\frac{z}{x}$, $b = \frac{x}{z} +\frac{y}{x} +\frac{z}{y}$ y $c = \left(\frac{x}{y} +\frac{y}{z} \right)\left(\frac{y}{z} +\frac{z}{x} \right)\left(\frac{z}{x} +\frac{x}{y} \right)$. El valor de $|ab-c|$ es:

Sea $ABCD$ un cuadrilátero con $\angle ADC = 70^{\circ}$, $\angle ACD = 70^{\circ}$, $\angle ACB = 10^{\circ}$ y $\angle BAD = 110^{\circ}$. La medida de $\angle CAB$ (en grados) es:

El número obtenido al tomar los dos últimos dígitos de $5^{2024}$ en el mismo orden es:

El número de números impares de cuatro dígitos que tienen dígitos $1,2,3,4$, cada uno ocurriendo exactamente una vez, es:

El entero positivo más pequeño que no divide a $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9$ es: