En un número natural $n$ se le permite realizar las operaciones : $(1)$ multiplicar $n$ por $2$ o $(2)$ restar $3$ de $n$. Por ejemplo, comenzando con $8$ se puede llegar a $13$ como sigue : $8 \longrightarrow 16 \longrightarrow 13$. Necesita dos pasos y no se puede hacer en menos de dos pasos. Comenzando desde $11$, ¿cuál es el número mínimo de pasos necesarios para llegar a $121$?

Considera cinco puntos en el plano, sin tres de ellos colineales. Cada par de puntos entre ellos está unido por una línea. ¿De cuántas maneras podemos colorear estas líneas de rojo o azul, de modo que no tres de los puntos forman un triángulo con líneas del mismo color?

Sean $p,q$ números de dos dígitos ninguno de los cuales es divisible por $10$. Sea $r$ el número de cuatro dígitos al poner los dígitos de $p$ seguidos por los dígitos de $q$ (en orden). A medida que $p,q$ varían, una computadora imprime $r$ en la pantalla si $\gcd(p,q) = 1$ y $p+q$ divide a $r$. Suponga que el número más grande que es impreso por la computadora es $N$. Determine el número formado por los dos últimos dígitos de $N$ (en el mismo orden).

Considera un triángulo isósceles $ABC$ con lados $BC = 30, CA = AB = 20$. Sea $D$ el pie de la perpendicular de $A$ a $BC$, y sea $M$ el punto medio de $AD$. Sea $PQ$ una cuerda de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$, tal que $M$ se encuentra en $PQ$ y $PQ$ es paralela a $BC$. La longitud de $PQ$ es:

Sea $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ una función que satisface la relación $4f(3-x) + 3f(x) = x^2$ para cualquier $x$ real. Encuentra el valor de $f(27) - f(25)$ al entero más cercano. (Aquí $\mathbb{R}$ denota el conjunto de números reales.)

Sea $X$ el conjunto que consiste en veinte enteros positivos $n,n+2,...,n+38$. El valor más pequeño de $n$ para el cual cualesquiera tres números $a,b,c \in X$, no necesariamente distintos, forman los lados de un triángulo acutángulo es:

Inicialmente, hay $3^{80}$ partículas en el origen $(0,0)$. En cada paso las partículas se mueven a puntos por encima del eje $x$ como sigue: si hay $n$ partículas en cualquier punto $(x,y)$, entonces $\Bigl \lfloor \frac{n}{3} \Bigr\rfloor$ de ellas se mueven a $(x+1,y+1)$, $\Bigl \lfloor \frac{n}{3} \Bigr\rfloor$ se mueven a $(x,y+1)$ y las restantes a $(x-1,y+1)$, Por ejemplo, después del primer paso, hay $3^{79}$ partículas cada una en $(1,1),(0,1)$ y $(-1,1)$. Después del segundo paso, hay $3^{78}$ partículas cada una en $(-2,2)$ y $(2,2)$, $2 \times 3^{78}$ partículas cada una en $(-1,2)$ y $(1,2)$, y $3^{79}$ partículas en $(0,2)$. Después de $80$ pasos, el número de partículas en $(79,80)$ es:

Tres enteros positivos $a,b,c$ con $a>c$ satisfacen las siguientes ecuaciones : $$ac + b+c = bc + a + 66, \; \; \; \; a+b+c=32$$ Encuentra el valor de $a$.

Considera un cuadrado $ABCD$ de lado de longitud $16$. Sean $E,F$ puntos en $CD$ tales que $CE = EF = FD$. Sean la línea $BF$ y $AE$ se intersecan en $M$. El área de $\bigtriangleup MAB$ es:

Los números reales positivos $a,b,c,$ satisfacen: $$\frac{a}{2b+1} + \frac{2b}{3c+1} + \frac{3c}{a+1} = 1$$ $$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{2b+1} + \frac{1}{3c+1} = 2$$ ¿Cuál es el valor de $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$