Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle B = 90^{\circ}$. Sea la longitud de la altitud $BD$ igual a $12$. ¿Cuál es la longitud mínima posible de $AC$, dado que $AC$ y el perímetro del triángulo $ABC$ son enteros?

Sea $n = 2^{19}3^{12}$. Sea $M$ denote el número de divisores positivos de $n^2$ que son menores que $n$ pero no dividirían a $n$. ¿Cuál es el número formado al tomar los dos últimos dígitos de $M$ (en el mismo orden)?

Encuentra el entero positivo más grande $n <30$ tal que $\frac{1}{2}(n^8 + 3n^4 -4)$ no es divisible por el cuadrado de ningún número primo.

En un triángulo $ABC$, un punto $P$ en el interior de $ABC$ es tal que $$ \angle BPC - \angle BAC = \angle CPA - \angle CBA = \angle APB - \angle ACB.$$ Suponga $\angle BAC = 30^{\circ}$ y $AP = 12$. Sean $D,E,F$ los pies de las perpendiculares desde $P$ sobre $BC,CA,AB$ respectivamente. Si $m \sqrt{n}$ es el área del triángulo DEF donde $m,n$ son enteros con $n$ primo, entonces ¿cuál es el valor del producto $mn$?

La suma de $\lfloor x \rfloor$ para todos los números reales $x$ que satisfacen la ecuación $16 + 15x + 15x^2 = \lfloor x \rfloor ^3$ es:

Un conjunto finito $M$ de enteros positivos consiste en cuadrados perfectos distintos y el número $92$. El promedio de los números en $M$ es $85$. Si eliminamos $92$ de $M$, el promedio disminuye a $84$. Si $N^2$ es el cuadrado más grande posible en $M$, ¿cuál es el valor de $N$?

Considera el conjunto $F$ de todos los polinomios cuyos coeficientes están en el conjunto de $\{0,1\}$. Sea $q(x) = x^3 + x +1$. El número de polinomios $p(x)$ en $F$ de grado $14$ tal que el producto $p(x)q(x)$ también está en $F$ es:

Considera los catorce números, $1^4,2^4,...,14^4$. El número natural más pequeño $n$ tal que dejan restos distintos cuando se dividen por $n$ es:

En un triángulo $ABC$, $\angle BAC = 90^{\circ}$. Sea $D$ el punto en $BC$ tal que $AB + BD = AC + CD$. Suponga $BD : DC = 2:1$. Si $\frac{AC}{AB} = \frac{m + \sqrt{p}}{n}$, Donde $m,n$ son enteros positivos relativamente primos y $p$ es un número primo, determine el valor de $m+n+p$.

Un entero $n$ tal que $\Bigl\lfloor \frac{n}{9} \Bigr\rfloor$ es un número de tres dígitos con dígitos iguales, y $\Bigl\lfloor \frac{n-172}{4} \Bigr\rfloor$ es un número de $4$ dígitos con los dígitos $2,0,2,4$ en algún orden. ¿Cuál es el residuo cuando $n$ se divide por $100$?