Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$. Sean $E = BH \cap AC$ y $F= CH \cap AB$. Sean $D, M, N$ los puntos medios de los segmentos $AH, BD, CD$ respectivamente, y $T = FM \cap EN$. Suponga que $D, E, T, F$ son concíclicos. Demuestra que $DT$ pasa por el circuncentro de $ABC$.

1. ¿Se puede teselar un cuadrado de $7 \times 7~$ con los dos tipos de teselas que se muestran en la figura? (Las teselas se pueden rotar y reflejar, pero no se pueden superponer ni romper) 2. Encuentra el número menor $N$ de teselas de tipo $A$ que deben usarse en la teselación de un cuadrado de $1011 \times 1011$. Da un ejemplo de una teselación que contenga exactamente $N$ teselas de tipo $A$.

Sea $N \geq 3$ un entero, y sean $a_0, \dots, a_{N-1}$ reales distintos por pares tales que $a_i \geq a_{2i}$ para todo $i$ (los índices se toman $\bmod~ N$). Encuentra todos los $N$ posibles para los cuales esto es posible.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ tales que para cualquier entero positivo $n$ y secuencia finita de enteros positivos $a_0, \dots, a_n$, siempre que el polinomio $a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$ tenga al menos una raíz entera, también la tiene $f(a_0)+f(a_1)x+\dots+f(a_n)x^n$.

Dado que $a_1, a_2, \dots, a_{10}$ son números reales positivos, determina el valor posible más pequeño de $\sum \limits_{i = 1}^{10} \left\lfloor \frac{7a_i}{a_i+a_{i+1}}\right\rfloor$ donde definimos $a_{11} = a_1$.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y centroide $G$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $N$ la reflexión de $M$ a través de $O$. Demuestra que $NO = NA$ si y sólo si $\angle AOG = 90^{\circ}$.

Sea $N$ el número de maneras de distribuir $52$ bolas idénticas en $4$ cajas distinguibles tal que ninguna caja esté vacía y la diferencia entre el número de bolas en cualesquiera dos de las cajas no sea un múltiplo de $6$ Si $N=100a+b$ , donde $a,b$ son enteros positivos menores que $100$, halla $a+b.$

En un triángulo $ABC$, la mediana $AD$ divide a $\angle{BAC}$ en la razón $1:2$ . Extiende $AD$ a $E$ tal que $EB$ es perpendicular a $AB$ . Dado que $BE=3,BA=4$ , halla el entero más cercano a $BC^2$

Una secuencia binaria es una secuencia en la cual cada término es igual a $0$ o $1$ . Una secuencia binaria es llamada $\text{amigable}$ si cada término es adyacente a al menos un término que es igual a $1$ . Por ejemplo, la secuencia $0,1,1,0,0,1,1,1$ es $\text{amigable}$ . Sea $F_{n}$ denota el número de secuencias binarias $\text{amigables}$ con $n$ términos. Halla el menor entero positivo $n\ge 2$ tal que $F_{n}>100$

Una hormiga está en un vértice de un cubo. Cada $10$ minutos se mueve a un vértice adyacente a lo largo de una arista. Si $N$ es el número de viajes de una hora que terminan en el vértice inicial, halla la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$