La sucesión 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, \.\.\. contiene todas las potencias de 3 y todos los números que se pueden escribir como suma de dos o más potencias distintas de 3. Notamos que $820 =3^6+3^4+3^2+1$, así que 820 es un término de esta sucesión. ¿En qué lugar de la sucesión se encuentra el número 820?

Dos círculos cortan un rectángulo y los segmentos fuera de los círculos miden $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, como se muestra. Probar que $a + e + c = d + b + f$. [image]

Un número entero $n$ tiene 3 dígitos distintos de cero. Cuando se le resta el número $k$ formado por los mismos dígitos pero en el orden inverso, el resultado es un entero positivo cuya cifra de unidades es 6. ¿Cuánto vale $n - k$?

Con centro en los vértices y en los puntos medios de los lados de un triángulo equilátero de lado 4 se trazan arcos de círculo para formar la figura que se muestra. ¿Cuánto vale el área sombreada? [image]

Se quiere convertir la cuadrícula de cuadros unitarios que se muestra a la izquierda en la cuadrícula que se muestra a la derecha. Se permite hacer la siguiente operación: Escoger dos cuadros unitarios que compartan un lado, y cambiar el color de cada uno, es decir, cada vez que se escoge uno blanco, ése se convierte en negro y viceversa. ¿Cuál es el mínimo número de operaciones necesarias para lograrlo? [image]

Los enteros del 1 al 1000 se escriben en línea, en algún orden, y se calculan todas las sumas de cada tres números consecutivos en la lista. Por ejemplo, si los 5 primeros números de la línea fueran 8, 231, 1000, 12, 400, las 3 primeras sumas serían $$8 + 231 + 1000 = 1239,$$ $$231 + 1000 + 12 = 1243,$$ $$1000 + 12 + 400 = 1412.$$ ¿Cúal es el máximo número de sumas impares que pueden obtenerse?

En un grupo con 2021 personas, cada una tiene un número de lista del 1 al 2021. Si se sabe que cada una de las personas con número de lista del 1 al 2020 estrechó la mano de exactamente tantas personas del grupo como su número de lista, ¿con cuántas personas estrechó la mano la persona con número de lista 2021?

El diagrama muestra tres cuadrados $PQRS, TRVU$ y $UWXY$. Los puntos $P, T$ y $X$ están alineados. El área de $PQRS$ es $36$, y el área de $TRVU$ es $16$. ¿Cuál es el área del triángulo $PXV$? [image]

Rodrigo fue caminando a casa de su amigo Arturo que vive a 1700 metros de su casa hacia el norte. Quiere regresar a su casa pero quiere caminar lo menos posible, así que tomará autobuses en dirección norte o sur. Lo malo es que desde casa de Arturo hacia el sur, los autobuses sólo se detienen cada 960 metros y en los mismos lugares en que ésos hacen parada, los autobuses hacia el norte sólo hacen parada cada 600 metros. ¿Cuántos metros tendrá que caminar si tomará tantos autobuses como sea necesario para caminar lo menos posible?

Sea $n$ un número entero mayor que 100 tal que el mínimo común múltiplo de los números $1, 2, 3, \ldots, n$ es igual que el mínimo común múltiplo de los números $101, 102, 103, \ldots, n$. Encontrar el menor valor posible de $n$.