¿De cuántas formas es posible llegar del punto $A$ al punto $B$ siguiendo las líneas de la figura si sólo se puede ir hacia abajo y hacia los lados (es decir, en las direcciones marcadas por las flechas en el esquema) pero sin pasar dos veces por el mismo punto? [image]

El área del triángulo $ABC$ es igual a $40 ext{ cm}^2$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ cumplen que $BD = 3AD$, $CE = 3BE$ y $AF = 3CF$. ¿Cuál es el área del triángulo $DEF?$ [image]

Una sucesión de números enteros positivos consecutivos se llama balanceada si contiene la misma cantidad de múltiplos de $3$ que de múltiplos de $5$. ¿Cuál es la máxima cantidad de términos que puede tener una sucesión balanceada?

Un papel cuadriculado de $4 \times 7$ como el que se muestra a la derecha se va a cortar con unas tijeras siguiendo algunas líneas de la cuadrícula. Se va a empezar en el borde inferior y se terminará en el borde superior, siempre hacia arriba y hacia los lados pero no hacia abajo, y no es válido empezar (ni terminar) por un lado. ¿De cuántas formas es posible hacerlo si las dos partes deben quedar con la misma área? (Nota: Por ejemplo, un corte como el que se muestra abajo a la izquierda es válido, pero el central y el de la derecha no lo son.) [image]

En la figura, $ABCD$ es un cuadrado y $ABE$ es un triángulo equilátero. La recta $DE$ corta a $BC$ en $F$, y $G$ es el punto sobre $EB$ para el cual $GF$ y $DF$ son perpendiculares. Probar que $FG$ y $EC$ miden lo mismo. [image]

Romeo no se acuerda del número secreto de su caja fuerte. Sólo recuerda que es un número de 7 cifras, que usa cada uno de los dígitos $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ exactamente una vez, y que es el menor número que cumple que la suma de cada 3 cifras consecutivas no es múltiplo ni de 2 ni de 3. ¿Cuál es el número secreto de su caja fuerte?

Algunos de los hexágonos de la figura que se muestra abajo a la izquierda se sombrean. Luego, en cada uno de los hexágonos se pone la cantidad de hexágonos sombreados que comparten al menos un lado con ese hexágono, y se considera la suma de todos los números (ver el ejemplo en la figura de la derecha en que la suma es $12 = 1+2+3+1+3+0+1+1+0$). ¿De cuántas formas es posible sombrear algunos de los hexágonos de tal forma que la suma sea $12$? [image]

Águeda olvidó el número que abre su candado, pero tiene apuntado que es un número de 4 cifras, que el producto de las cifras es 72 y que la suma de las cifras es 15. ¿Cuántas combinaciones máximo deberá intentar para lograr abrir el candado?

En la figura se muestra una forma de partir un triángulo equilátero en 6 triángulos equiláteros en donde el triángulo original tiene lado 3 cm y queda partido en uno de lado 2 cm y 5 de lado 1 cm. Determinar una forma de partir un triángulo equilátero en 23 triángulos equiláteros y, suponiendo que los más pequeños queden con lado 1 cm, decir cuántos quedan de cada medida. [image]

Se quiere pintar algunos de los cuadros en una cuadrícula de $4\times5$ de negro de tal forma que cada cuadro no pintado comparta por lo menos un lado con algún cuadro pintado. Por ejemplo, una coloración que cumple esto se muestra en la figura de la derecha. Determinar cuál es el mínimo número de cuadros que deben pintarse de negro. (Nota: Debe darse una coloración con la cantidad de cuadros que se determine, y también debe probarse que no es posible con menos.) [image]