Una lista de números enteros es sucesión aritmética si la diferencia de cada dos términos consecutivos es una misma constante. (Por ejemplo, $(8, 9, 10, 11)$ y $(3, 7, 11, 15, 19)$ son sucesiones aritméticas; en la primera, la constante es 1, y en la segunda es 4; además notamos que la primera empieza en 8 y termina en 11, y la segunda empieza en 3 y termina en 19.) Llamemos una lista de números sorpresiva si sus elementos pueden separarse en tres conjuntos con la misma cantidad de elementos y la misma suma. (Por ejemplo, una lista sorpresiva es $(2, 6, 8, 1, 4, 9)$ pues se puede partir en los conjuntos $\{2, 8\}$, $\{6, 4\}$ y $\{1, 9\}$ y los tres conjuntos tienen 2 elementos y suma 10.) Determinar todas las sucesiones aritméticas que empiecen en 5, terminen en 71 y sean sorpresivas.

En el esquema de la derecha se muestra un cuadrilátero en que las diagonales son perpendiculares entre sí y se intersectan en el punto $O$; la diagonal $AC$ mide 39, y las longitudes de los lados $AB$, $BC$ y $CD$ son como se indica en la figura. Probar que la distancia de $B$ a $O$ es 24 y encontrar el área del triángulo sombreado. [image]

Encontrar todos los enteros de dos dígitos que son iguales al doble del producto de sus dígitos.

Encontrar un entero positivo $n$ que tenga exactamente seis divisores positivos (incluyendo $1$ y $n$) y tal que el producto de cinco de sus divisores sea $648$.

Las medidas de los arcos $AP$ y $PB$ en la figura son $20$ y $16$, respectivamente. ¿Cuál es la medida del ángulo $AXP$? [image]

La figura muestra un cuadrado de $10 imes 10$. Si $O$ es el centro del cuadrado y el rectángulo central tiene área $8$, ¿cuánto mide el área sombreada? [image]

El tablero que se muestra a la derecha de $3 imes 6$ se quiere cubrir con fichas de $2 imes 1$ de forma que exactamente $5$ fichas vayan en posición horizontal. ¿De cuántas formas es esto posible? (Por ejemplo, abajo se muestra una forma.) [image]

Sabemos que por tres puntos cualesquiera no alineados en el espacio hay un único plano que los contiene. ¿Cuántos planos distintos determinan las tercias de vértices de un cubo? (Por ejemplo, en el cubo de la derecha, la tercia de vértices $\\{1, 2, 3\\}$ determina el mismo plano que la tercia $\\{1, 3, 4\\}$ pero la tercia $\\{3, 6, 8\\}$ determina un plano distinto.) [image]

Tres números enteros $x$, $y$, $z$ entre 1 y 9 se juntan como dígitos para formar los números $yx$, $yz$ y $zx$ (por ejemplo, si $x = 5$ y $y = 1$, entonces $yx$ es el número quince). La suma de estos nuevos números es el número $xyz$ de tres dígitos. Determinar todas las posibilidades para $x$, $y$ y $z$.

Se escriben en el pizarrón 5 números enteros positivos (no necesariamente distintos) y se calculan todas las posibles sumas de parejas de estos números. Los únicos resultados que se obtienen son 31, 38 y 45 (algunos de ellos, varias veces). ¿Cuáles son los 5 números?