En un tablero cuadriculado de madera de $n \times n$ un mago toca con su varita mágica uno de los cuadritos y, al tocarlo, desaparece toda la fila y columna del cuadrito; quedan varios tableros rectangulares a los que les aplica el mismo acto mágico, es decir, toca un cuadrito de alguno de los rectángulos y elimina su fila y su columna (sólo en el rectángulo donde está el cuadrito que tocó). El acto de magia se repite varias veces hasta que todos los cuadritos han desaparecido. El mago quiere hacer el procedimiento el mínimo número posible de veces; ¿cuál es este número y cómo debe ir tocando los cuadritos?

Dado un subconjunto $A$ de $\{1, 2, \ldots, n\}$, llamamos suma de $A$ a la suma de los elementos de $A$ (por ejemplo, si $A = \{1, 4, 8\}$, entonces la suma de $A$ es 13 y si $A = \{9\}$, entonces su suma es 9). El conjunto $\{1, 2, \ldots, n\}$ quiere partirse en 12 subconjuntos (ajenos y no vacíos) con la misma suma. Hallar el menor $n$ para el cual esto es posible.

Ocho cajas numeradas del 1 al 8 están colocadas en una fila en orden de numeración. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse 8 esferas de Navidad en las cajas si de cada uno de 4 colores distintos hay dos esferas iguales, en cada caja va una esfera y esferas del mismo color no deben quedar en cajas con numeración consecutiva?

Sea $a_1, a_2, \ldots$ la sucesión definida por $a_1 = 1$ y, para $n \geq 2$, $$ a_n = (n-1)a_{n-1} + \cdots + ka_k + \cdots + 1a_1 + n. $$ ¿Para qué $n$'s es $a_n$ múltiplo de 9?

Hay 25 tarjetas numeradas del 1 al 25 sobre la mesa formando una fila de izquierda a derecha (en orden). Se van a revolver como sigue: Se toma primero la carta que está más a la derecha, luego la que está más a la izquierda, y luego la que quedó más a la derecha, y luego a la izquierda y así sucesivamente. Se colocan otra vez en fila de izquierda a derecha. Esto se repite varias veces. (Por ejemplo, al finalizar el primer paso, el orden en que quedan las cartas es 25, 1, 24, 2, 23, 3, \ldots, 14, 12, 13, y al finalizar el segundo paso, quedan en el orden 13, 25, 12, 1, 14, 24, \ldots) Probar que debe llegar un momento en que todas las cartas estén al mismo tiempo exactamente en el orden en que empezaron (el 1, 2, 3, 4, \ldots, 24, 25) y encontrar el menor número de pasos en que esto ocurre.

Sea $ABCD$ un tetraedro en el que $|AB| = |CD|$, $|AC| = |BD|$ y $|AD| = |BC|$ y sean $P_1, P_2, Q_1, Q_2, R_1$ y $R_2$ los puntos medios de $AB$, $CD$, $AC$, $BD$, $AD$ y $BC$, respectivamente. Probar que (a) $P_1P_2$ es ortogonal a $AB$. (b) $P_1P_2$, $Q_1Q_2$ y $R_1R_2$ concurren y son ortogonales entre sí.

Probar que para $n \geq 12$ es posible dibujar un "panal" con $n$ hexágonos regulares todos del mismo tamaño de manera que cada uno tenga lado común con al menos otros tres hexágonos.

Encuentra todos los números enteros $n$ que satisfagan todas las condiciones siguientes: $n < 1000$, $n$ es múltiplo de $3$, $n$ termina en $1$ y $n$ es suma de dos cuadrados.

Sobre cada lado de un paralelogramo se dibuja un cuadrado (hacia el exterior del paralelogramo y de manera que el lado del cuadrado sea el lado respectivo del paralelogramo). Prueba que los centros de los cuatro cuadrados son los vértices de otro cuadrado.

En un círculo están marcados en forma consecutiva (en el orden de las manecillas del reloj) los números del 1 al 2004. En cada número múltiplo de 6 hay una ficha marcada con el mismo número de su casilla. Cada segundo cada ficha se mueve en el sentido de las manecillas del reloj el mismo número de espacios de la ficha (por ejemplo, después de 4 segundos, la ficha 30 está en la casilla 150). ¿Cuántos segundos deben de transcurrir para que todas las fichas estén por primera vez juntas en una misma casilla?