Sea $$S_k(n)=\sum_{i=1}^n i^k$$ la suma de las primeras $n$ potencias $k$. Demuestra que $S_k$ es un polinomio de grado $k+1$ con coeficiente principal $\frac{1}{k+1}$. \nBonus: demuestra que $x^2+x$ divide al polinomio.

Sea $z=a+bi$ un numero complejo. Su conjugado es el numero $\bar{z}=a-bi$. Los conjugados cumplen las siguientes propiedades: 1. Es aditivo $\overline{z+z'}=\bar{z}+\bar{z'}$. 2. Es multiplicativo $\overline{zz'}=\bar{z}\bar{z'}$. 3. $z+\bar{z}=2a$ la suma de conjugados es 2 veces la parte real. 4. $z\bar{z}=|z|^2=a^2+b^2$ el producto de conjugados es la norma cuadrada de $z$. 5. Si $P$ es un polinomio con coeficientes $Reales$ entonces $$P(z)=\overline{P(\bar{z})}$$ en particular si $z$ es una raiz entonces $\bar{z}$ tambien lo es.

Cuando un polinomio $P$ es de grado a lo mucho $n$ y tiene $n+1$ raices entonces $P$ es el polinomio $0$, $P\equiv 0$.\nDicho de otra forma, $$P(x)=0 \qquad \forall x$$

Consideremos el polinomio $$P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$$ donde $a_0,a_1,\dots,a_n$ son enteros. Supongamos que $p,q$ son enteros tales que $mcd(p,q)=1$ y que $\frac{p}{q}$ es una raíz de $P(x)$, entonces $p$ divide a $a_0$ y $q$ divide a $a_n$.

Consideremos el polinomio $$P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$$ donde $a_0,a_1,\dots,a_n$ son enteros. Supongamos que $p,q$ son enteros tales que $mcd(p,q)=1$ y que $\frac{p}{q}$ es una raíz de $P(x)$, entonces $p$ divide a $a_0$ y $q$ divide a $a_n$.

Si $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es una funcion continua (por ejemplo un polinomio) y $f(a)<y<f(b)$ entonces hay un valor $a<x<b$ tal que $f(x)=y$. \nEsto es particularmente util cuando lo usamos con $y=0$ y $f(a)<0<f(b)$ entonces nos dice que hay un zero de la funcion entre $a$ y $b$.

Dados $n$ puntos $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\cdots (x_n,y_n)$ con $x_i\neq x_j,$ hay un unico polinomio de grado menor a $n$ que cumple $$P(x_i)=y_i.$$\nEl polinomio se puede escribir explicitamente como $$P(x)=\sum_{i=1}^n y_i \prod_{j\neq i} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$$

Un polinomio $P(x)$ es divisible entre $(x-a)$ si y solo si $P(a)=0$.