Halla todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1,a_2,\dots,a_n$ tales que \[\frac{1}{2^{a_1}} + \frac{1}{2^{a_2}} + \cdots + \frac{1}{2^{a_n}} = \frac{1}{3^{a_1}} + \frac{2}{3^{a_2}} + \cdots + \frac{n}{3^{a_n}} = 1. \]

Sea $I$ el incentro del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$. La circunferencia inscrita (o incírculo) $\omega$ de $ABC$ es tangente a los lados $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $EF$ corta a $\omega$ nuevamente en $R$. La recta $AR$ corta a $\omega$ nuevamente en $P$. Las circunferencias circunscritas (o circuncírculos) de los triángulos $PCE$ y $PBF$ se cortan nuevamente en $Q$. Demuestra que las rectas $DI$ y $PQ$ se cortan en la recta que pasa por $A$ y es perpendicular a $AI.$

Sea $\Gamma$ la circunferencia circunscrita al triángulo acutángulo $ABC$. Los puntos $D$ y $E$ están en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, y son tales que $AD = AE$. Las mediatrices de $BD$ y $CE$ cortan a los arcos menores $AB$ y $AC$ de $\Gamma$ en los puntos $F$ y $G$, respectivamente. Demuestra que las rectas $DE$ y $FG$ son paralelas (o son la misma recta).

Hallar todos los enteros $n \geq 3$ para los que existen números reales $a_1, a_2, \dots , a_{n+2}$, tales que $a_{n+1} =a_1$ y $a_{n+2} =a_2,$ y\n\[a_ia_{i+1} + 1 = a_{i+2}\]\npara $i = 1,2,\dots,n$.

Un "triángulo anti-Pascal" es una disposición de números en forma de triángulo equilátero de tal manera que cada número, excepto los de la última fila, es el valor absoluto de la diferencia de los dos números que están inmediatamente debajo de él. Determinar si existe un triángulo anti-Pascal con $2018$ filas que contenga todos los enteros desde $1$ hasta $1+2+\cdots+2018$.

Un lugar es un punto $(x,y)$ en el plano tal que $x$, $y$ son ambos enteros positivos menores o iguales que $20$. Al comienzo, cada uno de los $400$ lugares está vacío. Ana y Beto colocan piedras alternadamente, comenzando con Ana. En su turno, Ana coloca una nueva piedra roja en un lugar vacío tal que la distancia entre cualesquiera dos lugares ocupados por piedras rojas es distinto de $\sqrt{5}$. En su turno, Beto coloca una nueva piedra azul en cualquier lugar vacío. (Un lugar ocupado por una piedra azul puede estar a cualquier distancia de cualquier otro lugar ocupado.) Ellos paran cuando alguno de los dos no pueda colocar una piedra. Halla el mayor $K$ tal que Ana pueda asegurarse de colocar al menos $K$ piedras rojas, sin importar cómo Beto coloque sus piedras azules.

Un cuadrilátero convexo $ABCD$ satisface $AB \cdot CD = BC \cdot DA$. El punto $X$ en el interior de $ABCD$ es tal que \[\angle{XAB} = \angle{XCD}\quad\,\,\text{y}\quad\,\,\angle{XBC} = \angle{XDA}.\] Demuestra que $\angle BXA + \angle DXC = 180^{\circ}$.

Sea $a_1, a_2, \dots$ una sucesión infinita de enteros positivos. Supongamos que existe un entero $N \gt 1$ tal que para cada $n \geq N$ el número \[\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}\] es entero. Demuestra que existe un entero positivo $M$ tal que $a_m = a_{m+1}$ para todo $m \geq M$.

Un conejo invisible y un cazador juegan como sigue en el plano euclideano. El punto de partida $A_0$ del conejo, y el punto de partida $B_0$ del cazador son el mismo. Después de $n-1$ rondas del juego, el conejo se encuentra en el punto $A_{n-1}$ y el cazador se encuentra en el punto $B_{n-1}$. En la $n$-ésima ronda del juego, ocurren tres hechos en el siguiente orden: i) El conejo se mueve de forma invisible a un punto $A_n$ tal que la distancia entre $A_{n-1}$ y $A_n$ es exactamente $1$. ii) Un dispositivo de rastreo reporta un punto $P_n$ al cazador. La única información segura que da el dispositivo al cazador es que la distancia entre $P_n$ y $A_n$ es menor o igual que $1$. iii) El cazador se mueve de forma visible a un punto $B_n$ tal que la distancia entre $B_{n-1}$ y $B_n$ es exactamente $1$. ¿Es siempre posible que, cualquiera que sea la manera en que se mueva el conejo y cualesquiera que sean los puntos que reporte el dispositivo de rastreo, el cazador pueda escoger sus movimientos de modo que después de $10^9$ rondas el cazador pueda garantizar que la distancia entre él mismo y el conejo sea menor o igual que $100$?

Para cada entero $a_0 \gt 1$, se define la sucesión $a_0, a_1, a_2, \dots$ tal que para cada $n \ge 0$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n}$ si $\sqrt{a_n}$ es entero, y $a_{n+1} = a_n + 3$ en otro caso. Determina todos los valores de $a_0$ para los que existe un número $A$ tal que $a_n = A$ para infinitos valores de $n$.