Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determinar todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que, para cualesquiera números reales $x, y$, $$f(f(x)f(y))+f(x+y)=f(xy).$$

Sea $N \ge 2$ un entero dado. Los $N(N + 1)$ jugadores de un grupo de futbolistas, todos de distinta estatura, se colocan en fila. Muestra que siempre es posible quitar $N(N - 1)$ jugadores de esta fila, de modo que la fila resultante formada por los 2N jugadores restantes satisfaga las $N$ condiciones siguientes: ($1$) Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores más altos. ($2$) Que no quede nadie ubicado entre el tercer jugador más alto y el cuarto jugador más alto. $\vdots$ ($N$) Que no quede nadie ubicado entre los dos jugadores de menor estatura. Demuestra que esto siempre es posible.

Un par ordenado $(x,y)$ de enteros es un punto "primitivo" si el máximo común divisor de $x,y$ es $1$. Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, demostrar que existen un entero positivo $n$ y enteros $a_0,a_1,\cdots a_n$ tales que, para cada $(x,y)\in S$ se cumple: $$a_0x^n + a_1x^{n-1} y + a_2x^{n-2}y^2 + \cdots + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n = 1.$$

Sean $R$ y $S$ puntos distintos sobre la circunferencia $\Omega$ tales que $RS$ no es un diámetro de $\Omega$. Sea $\ell$ la recta tangente a $\Omega$ en $R$. El punto $T$ es tal que $S$ es el punto medio del segmento $RT$. El punto $J$ se elige en el menor arco $RS$ de $\Omega$ de manera que $\Gamma$, la circunferencia circunscrita al triángulo $JST$, intersecta a $\ell$ en dos puntos distintos. Sea $A$ el punto común de $\Gamma$ y $\ell$ más cercano a $R$. La recta $AJ$ corta por segunda vez a $\Omega$ en $K$. Demuestra que la recta $KT$ es tangente a $\Gamma$.

Sea $P = A_1A_2 \dots A_k$ un polígono convexo en el plano. Los vértices $A_1A_2 \dots A_k$ tienen coordenadas enteras y se encuentran sobre una circunferencia. Sea $S$ el área de $P$. Sea $n$ un entero positivo impar tal que los cuadrados de las longitudes de los lados de $P$ son todos números enteros divisibles por $n$. Demuestra que $2S$ es un entero divisible por $n$.

Hallar todos los enteros positivos $n$ para los que en cada casilla de un tablero $n \times n$ se puede escribir una de las letras $I$, $M$ y $O$ de manera que: - En cada fila y en cada columna, un tercio de las casillas tiene $I$, un tercio tiene $M$ y un tercio tiene $O$; y - En cualquier línea diagonal compuesta por un número de casillas divisible por $3$, exactamente un tercio de las casillas tienen $I$, un tercio tiene $M$ y un tercio tiene $O$. Nota: Las filas y las columnas del tablero $n \times n$ se numeran desde $1$ hasta $n$, en su orden natural.

El triángulo $BCF$ es rectángulo en $B$. Sea $A$ el punto de la recta $CF$ tal que $FA = FB$ y $F$ está entre $A$ y $C$. Se elige el punto $D$ de modo que $DA = DC$ y $AC$ es bisectriz del ángulo $\angle DAB$. Se elige el punto $E$ de modo que $EA = ED$ y $AD$ es bisectriz del ángulo $\angle EAC$. Sea $M$ el punto medio de $CF$. Sea $X$ el punto tal que $AMXE$ es un paralelogramo (con $AM \parallel EX$ y $AE \parallel MX$). Demuestra que las rectas $BD$, $FX$, y $ME$ son concurrentes.

Un conjunto de números enteros positivos se llama "fragante" si contiene al menos dos elementos, y cada uno de sus elementos tiene algún factor primo en común con al menos uno de los elementos restantes. Sea $P(n)=n^2+n+1$. Determina el menor número entero positivo b para el cual existe algún número entero no negativo tal que el conjunto $$\{P(a+1),P(a+2),\ldots, P(a+b)\}$$ es fragrante.

Decimos que un conjunto finito $S$ de puntos en el plano es "equilibrado" si para cada dos puntos distintos $A$ y $B$ en $S$ hay un punto $C$ en $S$ tal que $AC=BC$. Decimos que $S$ es "libre de centros" si para cada tres puntos distintos $A,B,C$ en $S$ no existe ningún punto $P$ en $S$ tal que $PA=PB=PC$. (a) Demuestra que para todo $n\geq 3$ existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado. (b) Determina todos los enteros $n$ para los que existe un conjunto de $n$ puntos equilibrado y libre de centros.

En la pizarra está escrita la ecuación \[(x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016) = (x - 1)(x - 2) \cdots (x - 2016)\] que tiene $2016$ factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de $k$ para el cual pueden borrarse exactamente $k$ de estos $4032$ factores lineales, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.