Sean $a$, $b$, $c$ y $d$ números reales tales que no hay dos iguales, \[ \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{a}=4 \] y $ac=bd$. Halla el máximo valor posible de \[ \frac{a}{c}+\frac{b}{d}+\frac{c}{a}+\frac{d}{b}.\]

Utilizando cuadrados de lado $1$, se forma una figura en forma de escalera por etapas siguiendo el patrón del dibujo. Por ejemplo, la primera etapa utiliza $1$ cuadrado, la segunda utiliza $5$, etc. Determina la última etapa para la que la figura correspondiente utiliza menos de $2014$ cuadrados.

Un número entero positivo se llama "tico" si es el producto de tres números primos diferentes que suman $74$. Comprueba que $2014$ es tico. ¿Qué año será el próximo año tico? ¿Cuál será el último año tico de la historia?

Un entero positivo $n$ es "divertido" si para todos los divisores positivos $d$ de $n$, $d+2$ es un número primo. Encuentra todos los números divertidos con el mayor número posible de divisores.

Se eligen los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ sobre una recta en ese orden, con $AB$ y $CD$ mayores que $BC$. Se construyen los triángulos equiláteros $APB$, $BCQ$ y $CDR$ de forma que $P$, $Q$ y $R$ estén en el mismo lado respecto a $AD$. Si $\angle PQR=120^\circ$. Demuestra que \[ \frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{BC}. \]

Juan escribe la lista de parejas $(n,3^n)$, con $n=1,2,3,\ldots$ en un pizarrón. A medida que va escribiendo la lista, subraya las parejas $(n,3^n)$ cuando $n$ y $3^n$ tienen la misma cifra de las unidades. De las parejas subrayadas, cuál ocupa la posición $2013$?

Alrededor de una mesa redonda están sentadas en sentido horario las personas $P_1,P_2,\ldots,P_{2013}$. Cada una tiene cierta cantidad de monedas (posiblemente ninguna); entre todas tienen $10000$ monedas. Comenzando por $P_1$ y prosiguiendo en sentido horario, cada persona en su turno hace lo siguiente: Si tiene un número par de monedas, se las entrega todas a su vecino de la izquierda. Si en cambio tiene un número impar de monedas, le entrega a su vecino de la izquierda un número impar de monedas (al menos una y como máximo todas las que tiene), y conserva el resto. Prueba que, repitiendo este procedimiento, necesariamente llegará un momento en que todas las monedas estén en poder de una misma persona.

Dado un triángulo agudo y escaleno $ ABC$, sea $ H$ su ortocentro, $ O$ su circuncentro, $ E$ y $ F$ los pies de las altitudes trazadas desde $ B$ y $ C$, respectivamente. La recta $ AO$ vuelve a cortar la circunferencia del triángulo en el punto $ G$ y los segmentos $ FE$ y $ BC$ en los puntos $ X$ e $ Y$ respectivamente. Sea $ Z$ el punto de intersección de la recta $ AH$ y la recta tangente a la circunferencia en $ G$. Demuestra que $ HX$ es paralela a $ YZ$.

Un "deslizamiento" sobre un entero $n\geq 2$ es una operación que consiste en elegir un divisor primo $p$ de $n$ y sustituir $n$ por $\frac{n+p^2}{p}$. Partiendo de un entero arbitrario $n\geq 5$, aplicamos sucesivamente la operación de deslizamiento sobre él. Demuestra que eventualmente se llega a $5$, sin importar los deslizamientos aplicados.

Sea $ABCD$ un cuadirlátero convexo y $M$ el punto medio del lado $AB$. La circunferencia que pasa por $D$ y es tangente a $AB$ en $A$ corta al segmento $DM$ en $E$. La circunferencia que pasa por $C$ y es tangente a $AB$ en $B$ corta al segmento $CM$ en $F$. Suponga que las rectas $AF$ y $BE$ se cortan en un punto que pertenece a la mediatriz del lado $AB$. Demuestra que $A,E$ y $C$ son colineales si y solo si $B,F$ y $D$ son colineales.