62 ¿Qué números naturales se pueden expresar como la diferencia de cuadrados de dos enteros?

63 $(SWE 6)$ Demuestra que hay infinitos enteros positivos que no se pueden expresar como la suma de los cuadrados de tres enteros positivos.

64 $(USS 1)$ Demuestra que para un número natural $n > 2$, se cumple que $(n!)! > n[(n - 1)!]^{n!}.$

65 $(USS 2)$ Demuestra que para $a > b^2,$ la identidad ${\sqrt{a-b\sqrt{a+b\sqrt{a-b\sqrt{a+\cdots}}}}=\sqrt{a-\frac{3}{4}b^2}-\frac{1}{2}b}$

66 $(USS 3)$ $(a)$ Demuestra que si $0 \le a_0 \le a_1 \le a_2,$ entonces $(a_0 + a_1x - a_2x^2)^2 \le (a_0 + a_1 + a_2)^2\left(1 +\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x^3+x^4\right)$ $(b)$ Formula y demuestra el resultado análogo para polinomios de tercer grado.

67 Dados los números reales $x_1,x_2,y_1,y_2,z_1,z_2$ que satisfacen $x_1>0,x_2>0,x_1y_1>z_1^2$ y $x_2y_2>z_2^2$, demuestra que: \[ {8\over(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1+z_2)^2}\le{1\over x_1y_1-z_1^2}+{1\over x_2y_2-z_2^2}. \] Da las condiciones necesarias y suficientes para la igualdad.

56 Sean $a$ y $b$ dos números naturales que tienen el mismo número $n$ de dígitos en sus expansiones decimales. Los primeros $m$ dígitos (de izquierda a derecha) de los números $a$ y $b$ son iguales. Demuestra que si $m >\frac{n}{2},$ entonces $a^{\frac{1}{n}} -b^{\frac{1}{n}} <\frac{1}{n}$

60 $(SWE 3)$ Encuentra el número natural $n$ con las siguientes propiedades: $(1)$ Sea $S = \{P_1, P_2, \cdots\}$ un conjunto finito arbitrario de puntos en el plano, y $r_j$ la distancia desde $P_j$ al origen $O.$ Asignamos a cada $P_j$ el disco cerrado $D_j$ con centro $P_j$ y radio $r_j$ . Entonces algunos $n$ de estos discos contienen todos los puntos de $S.$ $(2)$ $n$ es el entero más pequeño con la propiedad anterior.

55 Para cada \(k=1,2,3,4,5\) encuentra condiciones necesarias y suficientes sobre \(a>0\) para que exista un tetraedro con \(k\) aristas de longitud \(a\) y las restantes de longitud \(1\).

59 $(SWE 2)$ Para cada $\lambda$ $(0 < \lambda < 1$ y $\lambda = \frac{1}{n}$ para todo $n = 1, 2, 3, \cdots)$ , construye una función continua $f$ tal que no existan $x, y$ con $0 < \lambda < y = x + \lambda \le 1$ para los cuales $f(x) = f(y).$