52 Sea $ f$ una función de los números reales en los números reales tal que $ f(1) = 1, f(a+b) = f(a)+f(b)$ para todos $ a, b,$ y $ f(x)f \left( \frac{1}{x} \right) = 1$ para todo $ x \neq 0.$ Demuestre que $ f(x) = x$ para todos los números reales $ x.$

3 Considere un triángulo acutángulo $ABC$ ; los puntos $E,F$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $B$ y $C$ en $\triangle ABC$ . Los puntos $I$ y $J$ son las proyecciones de los puntos $F,E$ sobre la recta $BC$ ; los puntos $K,L$ están sobre los lados $AB,AC$ , respectivamente, tales que $IK \parallel AC$ y $JL \parallel AB$ . Demuestre que las rectas $IE$ , $JF$ , $KL$ son concurrentes.

1 Sea $n$ un entero positivo. Una clase de $n$ estudiantes corre $n$ carreras, en cada una de las cuales son clasificados sin empates. Un estudiante es elegible para una calificación $(a,\,b)$ , con $a$ y $b$ enteros positivos, si queda entre los primeros $b$ lugares en al menos $a$ de las carreras. Su puntuación final es el máximo valor posible de $a-b$ entre todas las calificaciones para las cuales es elegible. Halle la máxima suma posible de todas las puntuaciones de los $n$ estudiantes. Propuesto por William Steinberg, Australia KevinYang2.71

4 Halle todos los pares de enteros positivos $(x,y)$ que satisfacen la siguiente ecuación: $$3^x-8^y=2xy+1$$ YII.I.

4 Sea $f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3$ un polinomio con coeficientes enteros tal que $a_0$ , $a_3$ y $f(1)$ son impares. Demuestre que $f$ no tiene raíces racionales.

2 El radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $\Delta$ es $R$ y el radio de la circunferencia inscrita es $r$ . Demuestre que un círculo de radio $R + r$ tiene un área mayor que $5$ veces el área del triángulo $\Delta$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AB=AC$ . Sea además $\omega$ una circunferencia de centro $K$ tangente a la recta $AC$ en $C$ que interseca al segmento $BC$ nuevamente en $H$ . Demuestre que $HK \bot AB $ .

Demuestre que para todos los primos \( p \) tales que \( p \equiv 3 \pmod{4} \) o \( p \equiv 5 \pmod{8} \) , existen enteros \[ 1 \leq a_1 < a_2 < \cdots < a_{(p-1)/2} < p \] tales que \[ \prod_{\substack{1 \leq i < j \leq (p-1)/2}} (a_i + a_j)^2 \equiv 1 \pmod{p}. \]

A7 Sean $a_0,a_1,a_2,\ldots$ una sucesión de enteros y $b_0,b_1,b_2,\ldots$ una sucesión de enteros positivos tales que $a_0=0,a_1=1$ , y \[ a_{n+1} = \begin{cases} a_nb_n+a_{n-1} & \text{if $b_{n-1}=1$} \\ a_nb_n-a_{n-1} & \text{if $b_{n-1}>1$} \end{cases}\qquad\text{for }n=1,2,\ldots. \] para $n=1,2,\ldots.$ Demuestre que al menos uno de los dos números $a_{2017}$ y $a_{2018}$ debe ser mayor o igual que $2017$ .

1 Dado un entero positivo de dos cifras decimales, considere la operación (unaria) $\Box$ definida como sigue: multiplique sus cifras, calcule el cuadrado de la última cifra, escriba los resultados uno junto al otro e interprete las cuatro cifras como un número (decimal) (por ejemplo, $\Box 27=1449$ ) . Un entero $10^3\le N<10^4$ se llama opulento si es un cuadrado perfecto y \[\Box\left(\sqrt N\right)=N.\] Determine todos los enteros opulentos.