3 Para todo entero positivo $n \geq 2$ , demuestre que no existe una $n-$ tupla de números complejos distintos $(x_1,x_2,\dots,x_n)$ tal que para cada $1 \leq k \leq n$ se cumpla la siguiente igualdad. $\prod_{\underset{i \neq k}{1 \leq i \leq n}}^{ } (x_k - x_i) = \prod_{\underset{i \neq k}{1 \leq i \leq n}}^{ } (x_k + x_i) $ (20 puntos)

2 Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $(O)$ . Sean $M,N$ los puntos medios de los arcos $AB,AC$ que no contienen a $C,B$ , y sean $M',N'$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ con $AB,AC$ . Suponga que $X,Y$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ a $MM',NN'$ . Si $I$ es el incentro de $\triangle ABC$ , demuestre que el cuadrilátero $AXIY$ es cíclico si y solo si $b+c=2a$ . War-Hammer

4 Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $(O)$; suponga que la altura desde $A$ corta a $(O)$ en $D$. Sean las alturas desde $B,C$ que cortan a $AC,AB$ en $E,F$, respectivamente. $H$ es el ortocentro y $T$ es el punto medio de $AH$. La paralela a $EF$ que pasa por $T$ corta a $AB,AC$ en $X,Y$. Demuestre que $\angle XDF = \angle YDE$. War-Hammer

5 Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $(O)$. Sea $AO$ que corta a $(O)$ nuevamente en $A'$. La mediatriz de $OA'$ corta a $BC$ en $P_A$. $P_B,P_C$ se definen de manera análoga. Demuestre que: I) Los puntos $P_A,P_B,P_C$ son colineales. II) Demuestre que la distancia de $O$ a esta recta es igual a $\frac {R}{2}$, donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita. War-Hammer

2 ¿Cuántas torres pueden colocarse en un tablero de ajedrez $n\times n$ tal que cada torre sea amenazada por a lo sumo $2k$ torres? (15 puntos) Propuesto por Mostafa Einollah zadeh

3 $n$ automóviles están compitiendo en una carrera. Al principio tienen un orden particular. En cada momento un automóvil puede adelantar a otro. No ocurren dos adelantamientos al mismo tiempo y, salvo en los momentos en que un automóvil está pasando a otro, los automóviles siempre tienen un orden. Un conjunto de adelantamientos se llama "pequeño" si cualquier automóvil adelanta a lo sumo una vez. Un conjunto de adelantamientos se llama "completo" si cualquier automóvil adelanta exactamente una vez. Si $F$ es el conjunto de todos los órdenes posibles de los automóviles después de un conjunto pequeño de adelantamientos y $G$ es el conjunto de todos los órdenes posibles de los automóviles después de un conjunto completo de adelantamientos, demuestre que \[\mid F\mid=2\mid G\mid\] (20 puntos) Propuesto por Morteza Saghafian

2008.1.1 Dado un triángulo acutángulo $ABC$. Sea $H$ su ortocentro, y $A'$, $B'$ y $C'$ los pies de las alturas trazadas desde los vértices $A$, $B$ y $C$. Sea $P$ el punto medio del segmento $AH$, $Q$ la intersección de las rectas $B'P$ y $AB$, y $R$ la intersección de las rectas $A'C'$ y $BB'$. Demuestra que la recta $QR$ es perpendicular al lado $BC$.

4 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que $f(0) \in \mathbb Q$ y \[f(x+f(y)^2 ) = {f(x+y)}^2.\] (25 puntos)

4 Demuestre que si $n$ es suficientemente grande, en todo cuadrado de $n\times n$ en el que se ha escrito un número natural en cada una de sus celdas, se puede encontrar un subcuadrado del cuadrado principal tal que la suma de los números en este subcuadrado sea divisible por $1391$ .

5 Considere una gráfica con $n$ vértices y $\frac{7n}{4}$ aristas. (a) Demuestre que existen dos ciclos de igual longitud. (25 puntos) (b) ¿Puede dar una función menor que $\frac{7n}{4}$ que siga funcionando en el inciso (a)? Demuestre su afirmación. Decimos que la función $a(n)$ es menor que $b(n)$ si existe un $N$ tal que para cada $n>N$ se cumple $a(n)<b(n)$. (A lo sumo 5 puntos) Propuesto por Afrooz Jabal'ameli