4 Se definen dos funciones mediante las ecuaciones: $f(a) = a^2 + 3a + 2$ y $g(b, c) = b^2 - b + 3c^2 + 3c$ . Demuestra que para cualquier entero positivo $a$ existen enteros positivos $b$ y $c$ tales que $f(a) = g(b, c)$ .

3 Una función f tiene la siguiente propiedad: Si $k > 1, j > 1$ y $\gcd(k, j) = m$ , entonces $f(kj) = f(m) (f\left(\frac km\right) + f\left(\frac jm\right))$ . ¿Qué valores pueden tomar $f(1984)$ y $f(1985)$ ? Amir

4 Se da un triángulo $ABC$ y sea $D$ el punto medio del arco mayor $BAC$ de su circunferencia circunscrita. Sean $M , N$ los puntos medios de $AB , AC$ y $J , E , F$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita $(I)$ de $\triangle ABC$ con $BC, CA, AB$ . La recta $MN$ corta a $JE , JF$ en $K , H$ respectivamente; $IJ$ corta a la circunferencia $(BIC)$ en $G$ y $DG$ corta a $(BIC)$ en $T$ . a) Demuestre que $JA$ pasa por el punto medio de $HK$ y es perpendicular a $IT$ . b) Sean $R, S$ las proyecciones perpendiculares de $D$ sobre $AB, AC$ , respectivamente. Tome los puntos $P, Q$ en $IF , IE$ respectivamente, tales que $KP$ y $HQ$ son ambos perpendiculares a $MN$ . Demuestre que las tres rectas $MP , NQ$ y $RS$ son concurrentes .

4 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales $AC$ y $BD$ son iguales y se intersecan en $E$ . Las mediatrices de $AB$ y $CD$ se intersecan en el punto $P$ , que se encuentra dentro del triángulo $AED$ , y las mediatrices de $BC$ y $DA$ se intersecan en el punto $Q$ , que se encuentra dentro del triángulo $CED$ . Demuestre que $\angle PEQ = 90^\circ$ .

1 Halle todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que $$P(x^2)+x^3=x^2P(x)+1 \,\,\, for \,\,\, all \,\,\, x\in R$$

Una tabla de dimensiones $6 \times 6$ , formada por casillas unitarias, debe cubrirse usando baldosas rectangulares, con los bordes de las baldosas alineados con las líneas de la cuadrícula de la tabla. Baldosas distintas no pueden superponerse y deben tener áreas distintas. ¿Cuál es el máximo número de baldosas que se puede usar? \[ \begin{array}{|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|c@{\hspace{12pt}}|} \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline & & & & & \\ \hline \end{array} \]

5 Hay una cuadrícula de $2012\times 2012$ con filas numeradas $1,2,\dots 2012$ y columnas numeradas $1,2,\dots, 2012$ , y colocamos sobre ella algunas servilletas rectangulares de modo que los lados de las servilletas estén todos sobre líneas de la cuadrícula. Cada servilleta tiene un grosor entero positivo. (¡en micrómetros!) (a) Demuestre que existen $2012^2$ enteros únicos $a_{i,j}$ con $i,j \in [1,2012]$ tales que para todo $x,y\in [1,2012]$ , la suma \[ \sum _{i=1}^{x} \sum_{j=1}^{y} a_{i,j} \] sea igual a la suma de los grosores de todas las servilletas que cubren la casilla de la cuadrícula en la fila $x$ y la columna $y$ . (b) Demuestre que si usamos a lo sumo $500,000$ servilletas, al menos la mitad de los $a_{i,j}$ serán $0$ . Propuesto por Ray Li

1 Sea $n\ge2$ un entero positivo. Los números $1,2,..., n^2$ se colocan consecutivamente en las casillas de una cuadrícula de $n\times n$ , de modo que la primera fila contiene $1,2,...,n$ de izquierda a derecha, la segunda fila contiene $n+1,n+2,...,2n$ de izquierda a derecha, y así sucesivamente. El valor de cuadrado mágico de una cuadrícula se define como el número de filas, columnas y diagonales principales cuyos elementos tienen un valor promedio de $\frac{n^2 + 1}{2}$ . Demuestre que el valor de cuadrado mágico de la cuadrícula permanece constante bajo las dos operaciones siguientes: (1) una permutación de las filas; y (2) una permutación de las columnas. (Las operaciones pueden usarse varias veces y en cualquier orden.) Propuesto por Ray Li

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las rectas $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares a $AB$ en los puntos $A$ y $B$ , respectivamente. Las perpendiculares trazadas desde el punto medio $M$ de $AB$ a las rectas $AC$ y $BC$ intersecan a $l_1$ y $l_2$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Si $D$ es el punto de intersección de las rectas $EF$ y $MC$ , demuestre que \[\angle ADB = \angle EMF.\]

7 Los números positivos $x,y$ satisfacen $x^2+y^3 \ge x^3+y^4$ . Demuestre que $x^3+y^3 \le 2$ .