10 Para enteros positivos $a, b, c$ (no necesariamente distintos), suponga que $a+bc, b+ac, c+ab$ son todos cuadrados perfectos. Muestre que $$a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)+2abc$$ puede escribirse como suma de dos cuadrados.

9 Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$f(xy+f(x^2))=xf(x+y)$$ para todos los reales $x, y$ .

12 Para un triángulo $\triangle ABC$ con un ángulo obtuso $\angle A$ , sean $E , F$ los pies de las alturas trazadas desde $B , C$ sobre los lados $AC , AB$ respectivamente. Las tangentes desde $B , C$ a la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ cortan a la recta $EF$ en los puntos $K , L$ respectivamente, y sabemos que $\angle CLB=135$ . El punto $R$ está sobre el segmento $BK$ de modo que $KR=KL$ , y sea $S$ un punto de la recta $BK$ tal que $K$ está entre $B , S$ y $\angle BLS=135$ . Demuestre que la circunferencia con diámetro $RS$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC$ . Propuesto por Mehran Talaei Shayan-TayefehIR

8 Sean $a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n$ $2n$ enteros positivos tales que los $n+1$ productos \[a_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 a_2 a_3 \cdots a_n, b_1 b_2 a_3 \cdots a_n, \dots, b_1 b_2 b_3 \cdots b_n\] forman una progresión aritmética estrictamente creciente en ese orden. Determine el menor entero posible que podría ser la diferencia común de tal progresión aritmética.

7 $ \frac{\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10+\sqrt{2}}+...+\sqrt{10+\sqrt{99}}}{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+...+\sqrt{10-\sqrt{99}}}=? $

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $B$ y $C$ a los lados $AC$ y $AB$ respectivamente. Suponga que $AD$ es el diámetro de la circunferencia $ABC$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ . Sea $K$ el centro de homotecia interna de las circunferencias inscritas de los triángulos $BMF$ y $CME$ . Demuestre que los puntos $K, M, D$ son colineales. Propuesto por Bilegdemberel Bat-Amgalan.

1 Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios con coeficientes no negativos. Denotamos por $P'(x)$ la derivada de $P(x)$ . Suponga que $P(0)=Q(0)=0$ y $Q(1) \leq 1 \leq P'(0)$ . $(1)$ Demuestre que $0 \leq Q(x) \leq x \leq P(x)$ para todo $0 \leq x \leq 1$ . $(2)$ Demuestre que $P(Q(x)) \leq Q(P(x))$ para todo $0 \leq x \leq 1$ . Propuesto por Otgonbayar Uuye.

8 En el plano hay $n$ $(n\geq4)$ puntos marcados. Hay al menos $n+1$ pares de puntos marcados tales que la distancia entre cada par de puntos es $1$ . Encuentre el mayor entero $k$ tal que existe un punto marcado que es el centro de la circunferencia de radio $1$ sobre la cual hay al menos $k$ de los puntos marcados.

9 Dado un cuadrilátero convexo $ KLMN $ , en el cual $ \angle NKL = {{90} ^ {\circ}} $ . Sea $ P $ el punto medio del segmento $ LM $ . Resulta que $ \angle KNL = \angle MKP $ . Demuestre que $ \angle KNM = \angle LKP $ .

11 Encuentre todas las funciones $f$ de los enteros positivos a los enteros positivos tales que para todos los enteros $x, y$ tenemos $$2yf(f(x^2)+x)=f(x+1)f(2xy).$$