4 Se da un $n$ -ágono regular inscrito en un círculo de radio 1, donde $n > 3$ . Defina $G(n)$ como la longitud promedio de las diagonales de este $n$ -ágono. Demuestre que si $n \rightarrow \infty, G(n) \rightarrow \frac{4}{\pi}$ .

3 Los puntos $A,B,C,D$ están sobre un círculo de radio $R$ . $|AC|=|AB|=500$ , mientras que la razón entre $|DC|, |DA|, |DB|$ es $1,5,7$ . Halle $R$ .

4 Una mesa de billar (véase la imagen). Una bola blanca está en $p_1$ y una bola roja está en $p_2$ . La bola blanca se lanza hacia la bola roja como se muestra en la imagen, golpeando primero 3 lados. Halle la distancia mínima que debe recorrer la bola. https://2.bp.blogspot.com/-3GaeUhsJPnI/XWuvrrdKJtI/AAAAAAAAKpE/_-5AW3nyj-khi_skQVlz2STjFNaUpi7MACK4BGAYYCw/s400/1998%2Bflandres%2Bp4.png

1 Sean $a,b,c>0$ los lados de un triángulo rectángulo. Halle todos los $x$ reales para los cuales $a^x>b^x+c^x$ , con $a$ el lado más largo.

2 Al trazar todas las diagonales de un pentágono regular, se obtiene un pentágono más pequeño en el medio. ¿Cuál es la razón de las áreas de esos pentágonos?

4 Defina la sucesión $oa_n$ de la siguiente manera: $oa_0=1, oa_n= oa_{n-1} \cdot cos\left( \dfrac{\pi}{2^{n+1}} \right)$ . Halle $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} oa_n$ .

3 Dos tetraedros regulares $A$ y $B$ se construyen con los 8 vértices de un cubo unitario. (esta manera es única) ¿Cuál es el volumen de $A\cup B$ ?

2 Determine todas las soluciones enteras (a,b,c) con $c\leq 94$ para las cuales: $(a+\sqrt c)^2+(b+\sqrt c)^2 = 60 + 20\sqrt c$

2 (a) Demuestre que para todo $n\in\mathbb{N}$ existe exactamente un $x\in\mathbb{R}^+$ tal que $x^n+x^{n+1}=1$ . Llame a este $x_n$ . (b) Halle $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n$ .

4 Sea $(f_i)$ una sucesión de funciones definida por: $f_1(x)=x, f_n(x) = \sqrt{f_{n-1}(x)}-\dfrac14$ . ( $n\in \mathbb{N}, n\ge2$ ) (a) Demuestre que $f_n(x) \le f_{n-1}(x)$ para todo x donde ambas funciones están definidas. (b) Halle para cada $n$ los puntos de $x$ dentro del dominio para los cuales $f_n(x)=x$ .