18 Los números de Fibonacci se definen como sigue: $F_0 = F_1 = 1, F_{n+2} = F_{n+1}+F_n, n \geq 0$ . Sea $a_n$ el número de palabras que constan de $n$ letras $0$ o $1$ y que no contienen dos letras $1$ a distancia dos entre sí. Exprese $a_n$ en términos de los números de Fibonacci. Amir

2 Para todo entero positivo $n$, demuestra que se pueden encontrar enteros coprimos por pares $a,b,c>n$ tales que el conjunto de divisores primos de los números $a+b+c$ y $ab+bc+ac$ coincide. Propuesto por Mohsen Jamali y Hesam Rajabzadeh

2 Los números naturales del $1$ al $50$ se escriben en la pizarra. ¿Cuántos de ellos, como mínimo, deben borrarse para que la suma de cualesquiera dos de los números restantes no sea un primo?

4 Sea $S$ un punto dentro del ángulo $pOq$, y sea $k$ una circunferencia que contiene a $S$ y toca los lados $Op$ y $Oq$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. La recta $s$ paralela a $Op$ trazada desde $S$ interseca a $Oq$ en un punto $R$. Sea $T$ el punto de intersección del rayo $PS$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $SQR$, con $T \neq S$. Demuestra que $OT \parallel SQ$ y que $OT$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $SQR$.

1 Encuentra todos los pares de enteros positivos $(x, y)$ tales que $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{[x, y]}+\frac{1}{(x, y)}=\frac{1}{2}$ , donde $(x, y)$ es el máximo común divisor de $x, y$ y $[x, y]$ es el mínimo común múltiplo de $x, y$ .

19 Denote por $a_n$ el mayor número que no es divisible por $3$ y que divide a $n$ . Considere la sucesión $s_0 = 0, s_n = a_1 +a_2+\cdots+a_n, n \in \mathbb N$ . Denote por $A(n)$ el número de todas las sumas $s_k \ (0 \leq k \leq 3^n, k \in \mathbb N_0)$ que son divisibles por $3$ . Demuestre la fórmula \[A(n) = 3^{n-1} + 2 \cdot 3^{(n/2)-1} \cos \left(\frac{n\pi}{6}\right), \qquad n\in \mathbb N_0.\] Amir

20 Sean $X$ e $Y$ dos conjuntos de puntos en el plano y $M$ un conjunto de segmentos que conectan puntos de $X$ e $Y$ . Sea $k$ un número natural. Demuestre que los segmentos de $M$ pueden pintarse usando $k$ colores de tal manera que, para cualquier punto $x \in X \cup Y$ y dos colores $\alpha$ y $\beta$ $(\alpha \neq \beta)$ , la diferencia entre el número de segmentos coloreados de $\alpha$ y el número de segmentos coloreados de $\beta$ que se originan en $X$ sea menor o igual que $1$ . Amir

21 Demuestre que si $x,y,z >1$ y $\frac 1x +\frac 1y +\frac 1z = 2$ , entonces \[\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}.\] Amir

22 Para cada entero positivo $\,n,\;S(n)\,$ se define como el mayor entero tal que, para todo entero positivo $\,k\leq S(n),\;n^{2}\,$ puede escribirse como suma de $\,k\,$ cuadrados positivos. a.) Demuestre que $\,S(n)\leq n^{2}-14\,$ para cada $\,n\geq 4$ . b.) Halle un entero $\,n\,$ tal que $\,S(n)=n^{2}-14$ . c.) Demuestre que existen infinitos enteros $\,n\,$ tales que $S(n)=n^{2}-14.$

Sea $n > 1$ un entero positivo y $p$ un número primo tal que $n \mid (p - 1)$ y $p \mid (n^6 - 1)$. Demuestra que al menos uno de los números $p - n$ y $p + n$ es un cuadrado perfecto.