1 Sea $\{a_n\}$ una sucesión definida por $a_1=0$ y $$ a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\sum_{k=1}^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}a_k $$ para cualquier entero positivo $n$. Encuentra el término máximo de esta sucesión.

32 Sean $n, k \ge 1$ números naturales. Encuentra el número $A(n, k)$ de soluciones enteras de la ecuación \[|x_1| + |x_2| +\cdots + |x_k| = n\]

G8 Dado un triángulo acutángulo \(ABC\), \((c)\) su circunferencia circunscrita con centro \(O\) y \(H\) el ortocentro del triángulo \(ABC\). La recta \(AO\) interseca a \((c)\) en el punto \(D\). Sean \(D_1, D_2\) y \(H_2, H_3\) los puntos simétricos de los puntos \(D\) y \(H\) con respecto a las rectas \(AB, AC\), respectivamente. Sea \((c_1)\) la circunferencia circunscrita del triángulo \(AD_1D_2\). Supón que la recta \(AH\) interseca de nuevo a \((c_1)\) en el punto \(U\), la recta \(H_2H_3\) interseca al segmento \(D_1D_2\) en el punto \(K_1\) y la recta \(DH_3\) interseca al segmento \(UD_2\) en el punto \(L_1\). Demuestra que uno de los puntos de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos \(D_1K_1H_2\) y \(UDL_1\) se encuentra sobre la recta \(K_1L_1\).

51 Sea \(ABC\) un triángulo arbitrario y sean \(S_1, S_2,\cdots, S_7\) circunferencias que satisfacen las siguientes condiciones: \(S_1\) es tangente a \(CA\) y \(AB\), \(S_2\) es tangente a \(S_1, AB\), y \(BC\), \(S_3\) es tangente a \(S_2, BC\), y \(CA\), .............................. \(S_7\) es tangente a \(S_6, CA\) y \(AB\). Demuestra que las circunferencias \(S_1\) y \(S_7\) coinciden.

52 Sea un número real $\lambda > 1$ dado y una sucesión $(n_k)$ de enteros positivos tal que $\frac{n_{k+1}}{n_k} > \lambda$ para $k = 1, 2, \ldots$ Demuestra que existe un entero positivo $c$ tal que ningún entero positivo $n$ puede representarse de más de $c$ maneras en la forma $n = n_k + n_j$ o $n = n_r - n_s$.

59. Determina el valor máximo de $x^2 y^2 z^2 w$ para $\{x,y,z,w\}\in\mathbb{R}^{+} \cup\{0\}$ y $2x+xy+z+yzw=1$.

. Cincuenta bolas están numeradas con los enteros del $1$ al $5$ . (a) ¿Es posible distribuirlas en $10$ cajas de modo que en cada caja haya una bola cuyo número sea igual al número de bolas de esa caja (incluida esa bola)? (b) ¿Es posible distribuirlas en $9$ cajas de modo que en cada caja haya una bola cuyo número sea igual al número de bolas de esa caja (incluida esa bola)? P2. Sean $G(x,y)=\sqrt{xy}$ y $H(x,y)=\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$ la media geométrica y la media armónica de los números positivos $x, y$ , respectivamente. En un triángulo rectángulo, desde el ángulo recto se trazan la altura, la bisectriz del ángulo y la mediana, con longitudes $h$ , $b$ y $m$ , respectivamente. Demuestre que $G(h,\,H(h,m))=b.$ P3. (a) Resuelva la ecuación $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ en enteros $x,y$ . (b) ¿Es posible resolver la ecuación $\sqrt{x+20}+\sqrt{y+25}=\sqrt{xy+2025}$ en enteros $x,y$ ?

72 Sea $f(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Demuestra que si $f(x)=1979$ para cuatro valores enteros distintos de $x$, entonces $f(x)$ no puede ser igual a $2\times 1979$ para ningún valor entero de $x$.

3 Anna, Berta y Clara escriben los números cuadrados $1, 4, 9, . . . , 2025$ en una pizarra, calculan su suma y observan que es divisible por $3$ . Luego acuerdan el siguiente juego: En cada ronda, Anna tachará un número, luego Berta hará lo mismo, y luego Clara hará lo mismo. Esto continúa hasta que todos los números estén tachados. Clara tiene como objetivo que la suma de los números restantes después de cada ronda sea divisible por $ 3$ . a) Demuestre que Anna no puede impedir que Clara alcance su objetivo si Clara cuenta con la ayuda de Berta. b) Demuestre que Berta puede impedir que Clara alcance su objetivo incluso si Clara cuenta con la ayuda de Anna. (Richard Henner)

1 En el triángulo acutángulo $\triangle ABC$ , $BC>AC$ , $\Gamma$ es su círculo circunscrito, $D$ es un punto del segmento $AC$ y $E$ es la intersección del círculo con diámetro $CD$ y $\Gamma$ . $M$ es el punto medio de $AB$ y $CM$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $Q$ . Las tangentes a $\Gamma$ en $A,B$ se cortan en $P$ , y $H$ es el pie de la perpendicular trazada desde $P$ a $BQ$ . $K$ es un punto de la recta $HQ$ tal que $Q$ se encuentra entre $H$ y $K$ . Demuestre que $\angle HKP=\angle ACE$ si y solo si $\frac{KQ}{QH}=\frac{CD}{DA}$ .