6 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen lo siguiente. (Nótese que $\mathbb{R}$ denota el conjunto de todos los números reales) (1) Para todos los números reales $x$ , $y$ , se cumple la igualdad $f(x+f(x)+xy) = 2f(x)+xf(y)$ . (2) Para todo número real $z$ , existe $x$ tal que $f(x) = z$ .

2 Un triángulo no isósceles $\triangle ABC$ tiene su incírculo tangente a $BC, CA, AB$ en los puntos $D, E, F$. Sea el incentro $I$. Digamos que $AD$ corta al incírculo nuevamente en $G$, y sea la tangente al incírculo en $G$ la que corta a $AC$ en $H$. Sea $IH \cap AD = K$, y sea el pie de la perpendicular desde $I$ a $AD$ el punto $L$. Demuestra que $IE \cdot IK = IC \cdot IL$.

1 Sea $n$ un entero positivo que tiene al menos cuatro divisores positivos y sean $0<d_1<d_2<d_3<d_4$ sus menores divisores positivos. Halle todos los enteros positivos $n$ tales que: \[ n=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2. \]

1 Determine todos los pares $(x,y)$ de números reales que satisfacen la ecuación. $$2x^2+y^2+7=2(x+1)(y+1)$$

5 Un trapecio tiene lados paralelos de longitudes iguales a $a$ y $b$ ( $a <b$ ) , y la distancia entre los lados paralelos es la altura $h$ . Las prolongaciones de los lados no paralelos se intersecan en un punto que es vértice de dos triángulos que tienen como lados los lados paralelos del trapecio. Exprese las áreas de los triángulos como funciones de $a,b$ y $h$ .

38 A cada vértice de un pentágono regular se le asigna un entero, de modo que la suma de los cinco números es positiva. Si a tres vértices consecutivos se les asignan los números $x,y,z$ respectivamente, y $y<0$, entonces se permite la siguiente operación: $x,y,z$ son reemplazados por $x+y,-y,z+y$ respectivamente. Tal operación se realiza repetidamente mientras al menos uno de los cinco números sea negativo. Determine si este procedimiento termina necesariamente después de un número finito de pasos.

El profesor le dice a Pedro el producto de dos enteros positivos y a Sam su suma. Al principio, ninguno de ellos sabe el número del otro. Uno de ellos dice: *No puedes adivinar mi número*. Entonces el otro dice: *Te equivocas, el número es 136*. ¿Qué número les dijo el profesor a cada uno, respectivamente? Da razones para tu afirmación. Yimin

3 De $1993$ puntos $P_1, ..., P_{1993}$ , se supone que no hay tres de ellos ( $i \ne j$ , $i \ne k$ , $j \ne k$ ) que pertenezcan a una misma recta. Además, para ciertos pares $(i, j)$ con $1 \le i < j \le 1993$ , se construye el segmento $P_iP_j$ ; se supone que cada uno de los $1993$ puntos $P_i$ está conectado con al menos $1661$ otros puntos de estos $1993$ mediante uno de los segmentos construidos. Demuestre que de estas hipótesis se sigue siempre que entre los $P_i$ hay $7$ puntos, cada uno de los cuales está conectado con todos los demás puntos de estos $7$ mediante uno de los segmentos construidos.

C2 En cierta ciudad hay $n$ calles rectas, tales que cada dos calles se intersecan y no hay tres calles que pasen por la misma intersección. El Ayuntamiento quiere organizar la ciudad designando la calle principal y la calle lateral en cada intersección. Demuestre que esto puede hacerse de tal manera que, si uno recorre una de las calles de principio a fin, las intersecciones en las que esta calle es la principal y aquellas en las que no lo es aparezcan en orden alternado. Propuesto por Serbia

3 Sea \( A \) un conjunto no vacío compuesto de enteros, y sea \( h \) un entero positivo. Defina el conjunto \( T_h(A) \) como todos los números que pueden expresarse como \( a_1 + a_2 + \cdots + a_h \) donde \( a_1, a_2, \ldots, a_h \in A \) y estos elementos son distintos, es decir, \( T_h(A) = \{ x \mid x = a_1 + a_2 + \cdots + a_h, \text{distinct } a_1, a_2, \ldots, a_h \in A \} \) . Dados enteros positivos \( h \) y \( k \) con \( 2 \leq h \leq k - 2 \) y \( k \geq 5 \) , para todos los conjuntos de enteros \( A \) que satisfacen \( |A| = k \) , halle el valor mínimo de \( |T_h(A)| \) .