2 Para un entero positivo $n$ , sea $s(n)$ el número de formas en que $n$ puede escribirse como la suma de potencias perfectas $2010^{\text{th}}$ estrictamente crecientes. Por ejemplo, $s(2) = 0$ y $s(1^{2010} + 2^{2010}) = 1$ . Demuestre que para todo número real $x$ , existe un entero $N$ tal que para todo $n > N$ , \[\frac{\max_{1 \leq i \leq n} s(i)}{n} > x.\] Alex Zhu.

3 A 2010 MOPpers se les asignan los números del 1 al 2010. A cada uno se le da un papel rojo y un papel azul. Se eligen dos enteros positivos, A y B, cada uno menor o igual que 2010. En el papel rojo, cada MOPper escribe el resto cuando el producto de A y su número se divide entre 2011. En el papel azul, escribe el resto cuando el producto de B y su número se divide entre 2011. Los MOPpers pueden entonces realizar cualquiera de las siguientes dos operaciones: Cada MOPper da su papel rojo al MOPper cuyo número está escrito en su papel azul. Cada MOPper da su papel azul al MOPper cuyo número está escrito en su papel rojo. Demuestre que siempre es posible realizar cierto número de estas operaciones de modo que cada MOPper sostenga un papel rojo con su número escrito en él. Brian Hamrick.

5 Sea $n > 1$ un entero positivo. Se da una cuadrícula bidimensional, infinita en todas las direcciones. Cada cuadrado de 1 por 1 dentro de un cuadrado dado de $n$ por $n$ tiene una ficha sobre él. Un movimiento consiste en tomar $n$ fichas adyacentes en una fila o columna y deslizarlas cada una un espacio a lo largo de esa fila o columna. Una sucesión de retorno es una sucesión finita de movimientos tal que todas las fichas vuelven a llenar el cuadrado original de $n$ por $n$ al final de la sucesión. Suponga que todas las fichas son distinguibles excepto dos, que son indistinguibles entre sí. Demuestre que cualquier disposición distinguible de fichas en el cuadrado de $n$ por $n$ puede alcanzarse mediante una sucesión de retorno. Suponga que todas las fichas son distinguibles. Demuestre que no existe una sucesión de retorno que intercambie dos fichas y devuelva el resto a sus posiciones originales. Mitchell Lee y Benjamin Gunby.

6 Hamster está jugando un juego en un tablero de ajedrez de $m \times n$ . Coloca una torre en cualquier lugar del tablero y luego la mueve con la restricción de que todo movimiento vertical debe ser seguido por un movimiento horizontal y todo movimiento horizontal debe ser seguido por un movimiento vertical. ¿Para qué valores de $m,n$ es posible que la torre visite cada casilla del tablero de ajedrez exactamente una vez? Una casilla solo se considera visitada si la torre fue colocada inicialmente allí o si terminó uno de sus movimientos en ella. Brian Hamrick.

5 Dado un primo $p$ , sea $d(a,b)$ el número de enteros $c$ tales que $1 \leq c < p$ , y los restos al dividir $ac$ y $bc$ entre $p$ son ambos a lo sumo $\frac{p}{3}$ . Determine el valor máximo de \[\sqrt{\sum_{a=1}^{p-1}\sum_{b=1}^{p-1}d(a,b)(x_a + 1)(x_b + 1)} - \sqrt{\sum_{a=1}^{p-1}\sum_{b=1}^{p-1}d(a,b)x_ax_b}\] sobre todas las $(p-1)$ - tuplas $(x_1,x_2,\ldots,x_{p-1})$ de números reales. Brian Hamrick.

4 Sea $-2 < x_1 < 2$ un número real y defina $x_2, x_3, \ldots$ mediante $x_{n+1} = x_n^2-2$ para $n \geq 1$ . Suponga que ningún $x_n$ es $0$ y defina un número $A$ , $0 \leq A \leq 1$ , de la siguiente manera: El $n^{\text{th}}$ dígito después del punto decimal en la representación binaria de $A$ es un $0$ si $x_1x_2\cdots x_n$ es positivo y $1$ en caso contrario. Demuestre que $A = \frac{1}{\pi}\cos^{-1}\left(\frac{x_1}{2}\right)$ . Evan O' Dorney.

1 Para una permutación $\pi$ de $\{1,2,3,\ldots,n\}$ , sea $\text{Inv}(\pi)$ el número de pares $(i,j)$ con $1 \leq i < j \leq n$ y $\pi(i) > \pi(j)$ . Dado $n$ , ¿cuánto vale $\sum \text{Inv}(\pi)$ donde la suma recorre todas las permutaciones $\pi$ de $\{1,2,3,\ldots,n\}$ ? Dado $n$ , ¿cuánto vale $\sum \left(\text{Inv}(\pi)\right)^2$ donde la suma recorre todas las permutaciones $\pi$ de $\{1,2,3,\ldots,n\}$ ? Brian Hamrick.

6 Para todos los números reales positivos $a,b,c$ , demuestre que \[\sqrt{\frac{a^4 + 2b^2c^2}{a^2+2bc}} + \sqrt{\frac{b^4+2c^2a^2}{b^2+2ca}} + \sqrt{\frac{c^4 + 2a^2b^2}{c^2 + 2ab}} \geq a + b + c.\] In-Sung Na.

7 El juego de circulate se juega con una baraja de $kn$ cartas, cada una con un número en $1,2,\ldots,n$ , de modo que hay $k$ cartas con cada número. Primero, se reparten boca abajo $n$ montones numerados $1,2,\ldots,n$ de $k$ cartas cada uno. El jugador voltea entonces una carta del montón $1$ , coloca esa carta boca arriba en el fondo del montón, y luego voltea una carta del montón cuyo número coincide con el número de la carta recién volteada. El jugador repite esto hasta llegar a un montón en el que todas las cartas ya han sido volteadas, y gana si en ese momento todas las cartas han sido volteadas. Hamster se ha cansado de perder siempre, así que decide hacer trampa. Mira los montones de antemano y reordena las $k$ cartas de cada montón como le plazca. ¿Cuándo puede Hamster realizar este procedimiento de modo que gane el juego? Brian Hamrick.

1 Sea $ABC$ un triángulo. Sean $A_1$ , $A_2$ puntos sobre $AB$ y $AC$ , respectivamente, tales que $A_1A_2 \parallel BC$ y la circunferencia circunscrita de $\triangle AA_1A_2$ es tangente a $BC$ en $A_3$ . Defina $B_3$ , $C_3$ de manera similar. Demuestre que $AA_3$ , $BB_3$ y $CC_3$ son concurrentes. Carl Lian.