4 El número $2015$ ha sido escrito en la pizarra. Dos amigos juegan este juego: en la pizarra escriben la diferencia entre el número que está en la pizarra y uno de sus divisores. El juego lo pierde quien llega a $0$ . ¿Cuál de los dos puede asegurar la victoria?

1 Demuestre que: $\sqrt{10+\sqrt{24}+\sqrt{40}+\sqrt{60}}=\sqrt{2}+\sqrt3+\sqrt5$

5 Si $a,b,c$ son los lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa $c$ , demuestre entonces que para todo entero positivo $n>2$ se tiene $c^n>a^n+b^n$ .

5 Se da un cuadrado $ABCD$ de lado 1 y una circunferencia con diámetro $AD$ . Halle el radio de la circunferencia circunscrita de esta figura.

4 Resuelva en números reales la ecuación $\log_{2}(4^x+4)=x+\log_{2}(2^{x+1}-3)$

2 Halle todos los enteros $n$ tales que $n-5$ divide a $n^2+n-27$ .

5 Sea $P$ un punto interior o exterior (pero no sobre) de un triángulo $ABC$ . Demuestre que $PA +PB +PC$ es mayor que la mitad del perímetro del triángulo.

1 Sean $z_1$ y $z_2$ dos números complejos tales que $|z_1+2z_2|=|2z_1+z_2|$ . Demuestre que para todo número real $a$ se cumple $|z_1+az_2|=|az_1+z_2|$ .

2 Sean $a,b,c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Demuestre que $\left|\frac {a}{b}+\frac {b}{c}+\frac {c}{a}-\frac {b}{a}-\frac {c}{b}-\frac {a}{c}\right|<1$ .

3 Se dan los enteros $a_1,a_2,...,a_{2012}$ . Exactamente $29$ de ellos son divisibles por $3$ . Demuestre que la suma $a_1^2+a_2^2+...+a_{2012}^2$ es divisible por $3$ .