2 Exactamente \( n \) casillas de una cuadrícula de \( n \times n \) se colorean de negro, y las casillas restantes de blanco. El costo de tal coloración es el número mínimo de casillas blancas que deben recolorearse de negro para que desde cualquier casilla negra \( c_0 \) se pueda llegar a cualquier otra casilla negra \( c_k \) a través de una sucesión \( c_0, c_1, \ldots, c_k \) de casillas negras en la que cada par consecutivo \( c_i, c_{i+1} \) sea adyacente (compartan un lado común) para todo \( i = 0, 1, \ldots, k-1 \) . Sea \( f(n) \) el costo máximo posible entre todas las coloraciones iniciales con exactamente \( n \) casillas negras. Determine una constante $\alpha$ tal que \[ \frac{1}{3}n^{\alpha} \leq f(n) \leq 3n^{\alpha} \] para todo $n\geq 100$ .

2 En un país con $n$ ciudades, todos los vuelos directos son de doble sentido (ida y vuelta). Hay $r>2014$ rutas entre distintos pares de ciudades, que incluyen a lo sumo una escala intermedia (la dirección de cada ruta importa). Halle el mínimo valor posible de $n$ y el mínimo $r$ posible para ese valor de $n$ .

10 Sea $\{a_n\}$ una sucesión de números naturales tal que cada número primo mayor que $1402$ divide a algún miembro de esa sucesión. Demuestre que el conjunto de los divisores primos de los miembros de la sucesión $\{b_n\}$ , donde $b_n=a_1a_2...a_n-1$ , es infinito. Propuesto por Navid Safaei Shayan-TayefehIR

5 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que existe un entero positivo $a$ tal que exactamente $\left \lfloor \frac{n}{4} \right \rfloor$ de los enteros $a + 1, a + 2, \ldots, a + n$ son libres de cuadrados.

2 Se dan $50$ puntos en el plano, sin que tres de ellos pertenezcan a una misma recta. Cada uno de estos puntos se colorea usando uno de cuatro colores dados. Demuestra que hay un color y al menos $130$ triángulos escalenos con vértices de ese color.

1 Determine todas las sucesiones infinitas $a_1, a_2, \ldots$ de números reales tales que \[ a_{m^2 + m + n} = a_{m}^2 + a_m + a_n\] para todos los enteros positivos $m$ y $n$ .

8 Halle todas las funciones $f : \mathbb{Q}[x] \to \mathbb{Q}[x]$ tales que se cumplen las dos condiciones siguientes : $$\forall P , Q \in \mathbb{Q}[x] : f(P+Q)=f(P)+f(Q)$$ $$\forall P \in \mathbb{Q}[x] : gcd(P , f(P))=1 \iff$$ $P$ es libre de cuadrados. Un polinomio libre de cuadrados con coeficientes racionales es un polinomio tal que no existe el cuadrado de un polinomio no constante con coeficientes racionales que lo divida. Propuesto por Sina Azizedin Shayan-TayefehIR

2 Determina todos los enteros positivos \(n>1\) tales que para cualquier divisor \(d\) de \(n,\) los números \(d^2-d+1\) y \(d^2+d+1\) son primos. Lucian Petrescu

4 Sean $x,y,z$ números reales positivos tales que $xyz=1$. Demuestra que $\frac{1}{(x+1)^2+y^2+1}$ $+$ $\frac{1}{(y+1)^2+z^2+1}$ $+$ $\frac{1}{(z+1)^2+x^2+1}$ $\leq$ ${\frac{1}{2}}$ .

4 Sea $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circunferencia circunscrita y $l$ la tangente a $\Gamma$ por $A$ . Las alturas desde $B$ y $C$ se prolongan y cortan a $l$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Las rectas $DC$ y $EB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Demuestre que el triángulo $APQ$ es isósceles.