Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AB$ y $CD$ y suponga que $\angle BDC$ es agudo. Las longitudes son $AC = 20$ , $BD = 15$ , y la altura del trapecio es $12$ . Demuestre que las diagonales del trapecio son perpendiculares entre sí.

Ana y Ben juegan el siguiente juego. Ana elige un número real $x$ y le dice a Ben dos números, uno después del otro. Ben sabe que uno de los dos números que Ana le dice es el propio número $x$ , mientras que el otro número es $2x-\frac{1}{x},$ pero no sabe cuál de estos dos números le dice ella primero. Ben gana el juego si puede determinar con total certeza el número $x$ elegido por Ana; en caso contrario, gana Ana. Encuentre todos los valores de $x$ para los cuales Ana gana el juego.

Para cada número natural, Ana realiza la siguiente operación: suma todas las cifras en las posiciones impares del número y le resta el doble de la suma de las cifras en las posiciones pares. Las posiciones de las cifras se cuentan desde la derecha: la cifra de las unidades está en la primera posición, la de las decenas en la segunda, y así sucesivamente. Por ejemplo, para el número $1483$ , Ana obtiene $$\underbrace{3+4}_{\text{odd positions}}-\ 2\ \times\underbrace{(8+1)}_{\text{even positions}}=-11.$$ Ana observa que a veces dos números distintos dan el mismo resultado después de esta operación. ¿Cuál es la diferencia mínima entre dos números que dan el mismo resultado?

Ben tiene $10$ cajas etiquetadas con los números $1, 2, \dots, 10$ . La caja $1$ contiene $1$ galleta, la caja $2$ contiene $2$ galletas, $\dots$ , la caja $10$ contiene $10$ galletas. Entre estas cajas, exactamente cinco contienen solo galletas de fresa, mientras que las otras cinco contienen solo galletas de manzana. Ben no puede distinguir las galletas por su apariencia. ¿Cuál es el número mínimo de galletas que debe tomar para estar seguro de haber tomado al menos $10$ galletas de fresa?

Andy tiene palitos de longitudes $1$ , $2$ , $3$ , $\dots$ , $n$ para un entero positivo $n$ . Quiere formar un cuadrado usando cada uno de estos palitos para construir los lados del cuadrado. Cada lado debe tener un número distinto de palitos. ¿Cuál es el menor valor de $n$ para el cual puede hacerlo?

Sean $a,b,c,d,e$ números naturales tales que $\gcd(a,b,c,d,e) > 1$ Su producto es par, mientras que su suma es impar. ¿Cuál es el mínimo valor posible de la expresión $a+b+c+d+e$ ? Nota. $\gcd(a,b,c,d,e)$ denota el máximo común divisor de los números $a,b,c,d,e$ .

Sean $a,b,c \in \mathbb{R}$ tales que \[ \frac{a-b}{c} + \frac{b}{a} = 1. \] Encuentre el valor numérico de \[ \frac{a^2 - b^2}{c^2} + \frac{b^2}{a^2}. \]

Sea $a$ un número real tal que $a^2 - a$ y $a^3 - a$ son enteros. Demuestre que $a$ es un entero.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo con baricentro $G$ . Una recta que pasa por $G$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente. Sean $M'$ y $N'$ los reflejos de los puntos $M$ y $N$ respecto de los puntos medios de los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente. Sea $p$ la recta que pasa por $B$ y es paralela a $MN'$ , y sea $q$ la recta que pasa por $C$ y es paralela a $NM'$ . Demuestre que las rectas $p$ y $q$ se cortan sobre la recta $MN$ .

Sea $\mathbb R^+$ el conjunto de los números reales positivos. Encuentre todas las funciones $f:\mathbb R^+ \to \mathbb R^+$ tales que para todos $x, y \in \mathbb R^+$ , $$ f\left(f\left(x^2y\right)+x f(y)^2\right)=x y f\left(x+f(y)\right). $$