Dado una función \(f\) tal que \(f(x)\le x\ \forall x\in\mathbb{R}\) y \(f(x+y)\le f(x)+f(y)\ \forall \{x,y\}\in\mathbb{R}\), demuestra que \(f(x)=x\ \forall x\in\mathbb{R}\).

Desde un punto \(P\) sobre el arco \(BC\) de la circunferencia circunscrita al triángulo \(ABC\), se trazan \(PX\) perpendicular a \(BC\), \(PY\) perpendicular a \(AC\), y \(PZ\) perpendicular a \(AB\) (todas prolongadas si es necesario). Demuestra que \[ \frac{BC}{PX}=\frac{AC}{PY}+\frac{AB}{PZ}. \]

61 Hay dos sucesiones no decrecientes $\{a_i\}$ y $\{b_i\}$ de $n$ números reales cada una, tales que $a_i\le a_{i+1}$ para cada $1\le i\le n-1$, y $b_i\le b_{i+1}$ para cada $1\le i\le n-1$, y $\sum_{k=1}^{m}{a_k}\ge \sum_{k=1}^{m}{b_k}$ donde $m\le n$ con igualdad para $m=n$. Para una función convexa $f$ definida sobre los números reales, demuestra que $\sum_{k=1}^{n}{f(a_k)}\le \sum_{k=1}^{n}{f(b_k)}$.

69 Sea $N$ el número de soluciones enteras de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$, y sea $M$ el número de soluciones enteras de la ecuación \[x^2 - y^2 = z^3 - t^3 + 1\] que satisfacen la condición $0 \leq x, y, z, t \leq 10^6$. Demuestra que $N > M.$ Amir

70 Hay $1979$ triángulos equiláteros: $T_1,T_2, . . . ,T_{1979}$. Un lado del triángulo $T_k$ es igual a $\frac{1}{k}$, $k = 1,2, . . . ,1979$. ¿Para qué valores de un número $a$ se pueden colocar todos estos triángulos dentro del triángulo equilátero de lado $a$ de modo que no se intersecten (se permiten puntos de contacto)?

71 Dos círculos en un plano se intersecan. $A$ es uno de los puntos de intersección. Partiendo simultáneamente desde $A$, dos puntos se mueven con velocidad constante, cada uno viajando a lo largo de su propio círculo en el mismo sentido. Los dos puntos regresan a $A$ simultáneamente después de una revolución. Demuestra que existe un punto fijo $P$ en el plano tal que los dos puntos están siempre a la misma distancia de $P$.

73 En un plano se dan un número finito de círculos iguales. Estos círculos son mutuamente no intersecantes (pueden ser tangentes externamente). Demuestra que se pueden usar a lo más cuatro colores para colorear estos círculos de modo que dos círculos tangentes entre sí tengan colores distintos. ¿Cuál es el número más pequeño de círculos que requiere cuatro colores?

74 Dado un triángulo equilátero \(ABC\) de lado \(a\) en un plano, sea \(M\) un punto sobre la circunferencia circunscrita del triángulo. Demuestra que la suma \(s = MA^4 + MB^4 + MC^4\) es independiente de la posición del punto \(M\) sobre la circunferencia, y determina ese valor constante en función de \(a\).

75 Dado un triángulo equilátero $ABC$, sea $M$ un punto arbitrario en el espacio. $(\text{a})$ Demuestra que se puede construir un triángulo a partir de los segmentos $MA, MB, MC$. $(\text{b})$ Supón que $P$ y $Q$ son dos puntos simétricos con respecto al centro $O$ de $ABC$. Demuestra que los dos triángulos construidos a partir de los segmentos $PA,PB,PC$ y $QA,QB,QC$ tienen igual área.

77 Sea $h(n)$, donde $n$ es un entero mayor que $1$, el mayor divisor primo del número $n$. ¿Existen infinitos números $n$ para los cuales se cumple que $h(n) < h(n+1) < h(n+2)$?