2 Cuatro puntos en el plano no son concíclicos, y cualesquiera tres de ellos no son colineales. Demuestra que existe un punto $Z$ tal que la reflexión de cada uno de estos cuatro puntos respecto a $Z$ se encuentra en la circunferencia que pasa por los tres puntos restantes. Propuesto por: A Kuznetsov

2 Los enteros positivos $k, m, n, p$ son tales que $p=2^{2^n}+1$ es primo y $p\mid 2^k-m$. Demuestra que existe un entero positivo $l$ tal que $p^2\mid 2^l-m$.

1 Francisco escribió una secuencia de números que comienza con $25$. A partir del cuarto término de la secuencia, cada término es el promedio de los tres anteriores. Dado que los primeros seis términos de la secuencia son números naturales y que el sexto número escrito fue $8$, ¿cuál es el quinto término de la secuencia?

5 Dado un número natural $m$, demuestra que existen infinitos números naturales $n$, coprimos con $m$, para los cuales el número $(n!)^2 + 1$ es compuesto.

6 Un grafo conexo tiene más de $1000$ vértices y sigue siendo conexo incluso si se le quitan cualesquiera $100$ vértices. Demuestra que existe un camino en este grafo $a_1a_2 \cdots a_{102}$ tal que el grafo sigue siendo conexo después de quitar estos $102$ vértices. (Algunos pares de vértices no adyacentes en el camino también pueden ser adyacentes.)

Un conjunto de números $x_1,x_2,...,x_{10}$ se llama bueno si $|x_{i+1}-x_1| \geq 3|x_i-x_1|$ para cada $i=1,2,...,9$. Demuestra que podemos elegir un conjunto bueno de cualesquiera 314159 números reales.

4 Sobre la bisectriz del ángulo con vértice \(A\), se fija un punto \(B\). En el segmento \(AB\), se elige un punto arbitrario \(O\) para el cual el círculo con centro \(O\) y radio \(OB\) interseca los lados del ángulo en cuatro puntos. Conecta dos de estos puntos, que estén en lados diferentes del ángulo y a distancias diferentes de \(A\), con un segmento. Demuestra que todos los segmentos construidos de esta manera tocan un círculo fijo.

2 Demuestra que $$\frac{1+ \tan 1^\circ}{1-\tan 1^\circ} + \frac{1+\tan 2^\circ }{1-\tan 2^\circ } + \cdots + \frac{1+\tan 15^\circ}{1-\tan 15^\circ} > 19 $$

6 María quiere resolver un reto con una baraja de cartas, cada una con una figura distinta. Inicialmente, las cartas se reparten al azar en dos montones, no necesariamente en partes iguales. El objetivo de María es juntar todas las cartas en un mismo montón. En cada turno, María toma la carta superior de cada montón y las compara. En el libro de reglas hay una tabla que indica, para cada enfrentamiento de cartas, cuál de las dos gana. Ambas cartas se colocan luego en el fondo del montón de la carta ganadora, en el orden que María elija. El reto termina cuando todas las cartas están en un solo montón. Demuestra que siempre es posible que María resuelva el reto, sin importar la distribución inicial de las cartas ni la tabla del libro de reglas.

3 Una excircunferencia con centro en $I_{A}$ toca el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ en el punto $D$. Demuestra que los círculos pedales de $D$ con respecto a los triángulos $ABI_{A}$ y $ACI_{A}$ son congruentes. Propuesto por: K. Belsky