3 Sea $ABC$ un triángulo escaleno y sea $P$ un punto interior tal que $\angle PBA=\angle PCA$ . Las rectas $PB$ y $PC$ cortan a las bisectrices interior y exterior de $\angle BAC$ en $Q$ y $R$ , respectivamente. Sea $S$ el punto tal que $CS$ es paralelo a $AQ$ y $BS$ es paralelo a $AR$ . Demuestre que $Q$ , $R$ y $S$ son colineales.

2 Sea $n$ un entero positivo. Sean $x_1, x_2, \dots, x_n > 1$ números reales cuyo producto es $n+1$ . Demuestre que \[\left(\frac{1}{1^2(x_1-1)}+1\right)\left(\frac{1}{2^2(x_2-1)}+1\right)\cdots\left(\frac{1}{n^2(x_n-1)}+1\right)\geq n+1\] y halle para qué valores se cumple la igualdad.

10.7 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A=60^\circ$ ; sean $AD$ , $BE$ y $CF$ sus bisectrices; sean $P, Q$ las proyecciones de $A$ sobre $EF$ y $BC$ respectivamente; y sea $R$ el segundo punto común de la circunferencia $DEF$ con $AD$ . Demuestre que $P, Q, R$ son colineales.

4 Determine la longitud máxima $L$ de una sucesión $a_1,\dots,a_L$ de enteros positivos que satisface ambas propiedades siguientes: cada término de la sucesión es menor o igual que $2^{2023}$ , y no existe una subsucesión consecutiva $a_i,a_{i+1},\dots,a_j$ (donde $1\le i\le j\le L$ ) con una elección de signos $s_i,s_{i+1},\dots,s_j\in\{1,-1\}$ para la cual \[s_ia_i+s_{i+1}a_{i+1}+\dots+s_ja_j=0.\]

5 Dados dos puntos $p_1=(x_1, y_1)$ y $p_2=(x_2, y_2)$ del plano, denote por $\mathcal{R}(p_1,p_2)$ el rectángulo con lados paralelos a los ejes de coordenadas y con $p_1$ y $p_2$ como vértices opuestos, es decir, \[\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\min\{x_1, x_2\}\leq x\leq \max\{x_1, x_2\},\min\{y_1, y_2\}\leq y\leq \max\{y_1, y_2\}\}.\] Halle el mayor valor de $k$ para el cual es verdadera la siguiente afirmación: para todo conjunto $\mathcal{S}\subset\mathbb{R}^2$ con $|\mathcal{S}|=2024$ , existen dos puntos $p_1, p_2\in\mathcal{S}$ tales que $|\mathcal{S}\cap\mathcal{R}(p_1, p_2)|\geq k$ .

1 Si $a$ y $b$ son enteros positivos, decimos que $a$ casi divide a $b$ si $a$ divide al menos a uno de $b - 1$ y $b + 1$ . Llamamos a un entero positivo $n$ casi primo si se cumple lo siguiente: para cualesquiera enteros positivos $a, b$ tales que $n$ casi divide a $ab$ , se tiene que $n$ casi divide al menos a uno de $a$ y $b$ . Determine todos los números casi primos. Enlace original https://mathematical.olympiad.ch/fileadmin/user_upload/Archiv/Intranet/Olympiads/Mathematics/deploy/exams/2024/FinalRound/Exam/englishFinalRound2024.pdf !!

6 Sean $a$ , $b$ y $n$ enteros positivos que satisfacen que $bn$ divide a $an-a+1$ . Sea $\alpha=a/b$ . Demuestre que, cuando los números $\lfloor\alpha\rfloor,\lfloor2\alpha\rfloor,\dots,\lfloor(n-1)\alpha\rfloor$ se dividen por $n$ , los residuos son $1,2,\dots,n-1$ , en algún orden.

8 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $\angle BAD < \angle ADC$ . Sea $M$ el punto medio del arco $CD$ que no contiene a $A$ . Suponga que existe un punto $P$ en el interior de $ABCD$ tal que $\angle ADB = \angle CPD$ y $\angle ADP = \angle PCB$ . Demuestre que las rectas $AD, PM$ y $BC$ son concurrentes.

1 Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Un niño usa $n^2$ bloques para formar una cuadrícula de $n\times n$ , teniendo cada uno de los bloques un entero positivo no mayor que $k$ escrito en él. El padre pasa y observa que: 1. cada fila de la cuadrícula puede verse como una sucesión aritmética cuyo primer término es el número más a la izquierda, teniendo todas ellas diferencias comunes distintas; 2. cada columna de la cuadrícula puede verse como una sucesión aritmética cuyo primer término es el número más arriba, teniendo todas ellas diferencias comunes distintas. Halle el menor valor posible de $k$ (como función de $n$ . ) Nota: Las diferencias comunes pueden no ser positivas. Propuesto por Chu-Lan Kao

2 Un entero positivo es superbo si es el mínimo común múltiplo de $1,2,\ldots, n$ para algún entero positivo $n$ . Halle todos los $x,y,z$ superbos tales que $x+y=z$ . Propuesto por usjl