1 Se dan dos fracciones reducidas (irreducibles). Para la primera fracción, la suma del numerador y el denominador es $1232$ , y para la segunda fracción, la suma es $7987$ . ¿Puede la suma de estas dos fracciones ser igual a $\frac{17}{35}$ ?

1 En un triángulo acutángulo $ABC$ trace una altura $AD$ . Se sabe que $2CD = BD$ . Sea $K \ne A$ un punto sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ tal que $AK \parallel BC$ . Sea $S$ el punto medio de $AB$ . Demuestre que la recta $SK$ es perpendicular a la recta $BC$ .

2 Arlan y Arman juegan un juego. Tienen una cuerda de longitud $2022$ . En cada movimiento, un jugador elige un trozo de cuerda y lo corta en dos partes no nulas. Un jugador gana si después de su movimiento puede seleccionar cuatro trozos de cuerda cuyas longitudes formen una progresión aritmética. Si Arlan mueve primero, ¿quién gana bajo juego óptimo?

4 Considere una cuadrícula de $5\times5$ en la que cada casilla contiene inicialmente $0$ . En una operación, está permitido aumentar en $1$ todos los números de las casillas que forman una esquina. Demuestre que después de cualquier número de tales operaciones, es imposible que todos los números de la cuadrícula se vuelvan iguales. Una esquina se define como la figura que se obtiene al quitar una casilla de un cuadrado de $2\times2$ .

1 Aslan escribió en la pizarra el número de enteros del $1$ al $2022$ (inclusive) que son divisibles por $2$ o por $7$ . Almaz escribió en la pizarra el número de enteros del $1$ al $2022$ (inclusive) que son divisibles por $3$ o por $5$ . ¿De quién es el número mayor?

2 Dado un triángulo $ABC$ en el que $BC = 2AB$ . El punto $D$ es el punto medio del lado $BC$ , y el punto $K$ es el punto medio del segmento $BD$ . Demuestre que $AC = 2AK$ .

4 En un triángulo, se dice que un vértice es «hermoso» si se puede trazar por él una recta que divida al triángulo en dos triángulos más pequeños, cada uno de los cuales es isósceles. Se da el triángulo $ABC$ . Resultó que los vértices $A$ y $B$ son hermosos. ¿Es necesariamente hermoso también el vértice $C$ ?

1 Resuelva la ecuación $5n=2021S(n)+2022$ en números naturales, donde $S(n)$ denota la suma de las cifras de $n$ .

3 Resuelva la ecuación $6^{x}+30^{x}+33^{x}=45^{x}$ en números reales, dado que $x\geqslant1$ .

4 Las diagonales del cuadrado $ABCD$ se intersecan en el punto $O$ . Los puntos $K$ , $L$ , $M$ se marcan respectivamente sobre los segmentos $OA$ , $OB$ , $OC$ de modo que el ángulo $KLM$ sea igual a $135^{\circ}$ . La recta $M L$ interseca al lado $DC$ en el punto $P$ . La recta que pasa por $K$ y es perpendicular a la recta $ML$ interseca a los lados $BC$ y $AD$ en los puntos $Q$ y $R$ , respectivamente. Demuestre que el triángulo $PQR$ es isósceles.