8.6 Determine el mayor número primo $p$ tal que el número \[ 20023p^2 - 99124 \] también es primo.

9.6 Suponga que se dan $50$ puntos distintos con coordenadas enteras en el plano. Demuestre que existe un segmento que conecta dos de estos puntos tal que al menos siete puntos con coordenadas enteras están sobre este segmento (incluyendo los extremos; estos siete puntos no pertenecen necesariamente al conjunto dado).

9.1 Sea $\overline{ab}$ el número de dos cifras formado por los dígitos $a$ y $b$ . Halle todos los posibles números $\overline{ab}$ tales que $\overline{ab}\cdot\overline{ba}=a^3 + (a+b)^3$ .

8.8 Se conocen dos hechos sobre el Consejo Supremo de Magos: $\bullet$ Cada miembro del consejo es amigo de exactamente $9$ otros miembros; $\bullet$ Para cualesquiera $9$ miembros del consejo, existe un $10$ -ésimo miembro que es amigo de todos ellos. ¿Cuál es el número máximo posible de magos en el Consejo Supremo?

8.7 a) Sea $ABCD$ un trapecio con $AD \parallel BC$ y $AD > BC$ . Sea $M$ el punto medio del lado $AB$ . Denote el área del triángulo $AMD$ por $S_1$ , y el área del cuadrilátero $MBCD$ por $S_2$ . Demuestre que \[ 1 < \frac{S_2}{S_1} < 3 \] b) Sea $ABCD$ un trapecio con $AD \parallel BC$ y $AD > BC$ . Sea $M$ un punto en el rayo $BA$ tal que $AB : AM = n$ . Denote el área del triángulo $AMD$ por $S_1$ , y el área del cuadrilátero $MBCD$ por $S_2$ . Determine todos los valores posibles que puede tomar la razón $\frac{S_2}{S_1}$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Considera el círculo tangente externamente al arco $BC$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ que subtiende el ángulo $A$. Demuestra que la suma de las longitudes de las tangentes trazadas a este círculo desde los puntos $B$ y $C$ es igual a la longitud de la tangente trazada al mismo círculo desde el punto $A$.

8.5 Suponga que se dan 26 puntos distintos con coordenadas enteras en el plano. Demuestre que existe un segmento que conecta dos de estos puntos tal que al menos cinco puntos con coordenadas enteras están sobre este segmento (incluyendo los extremos; estos cinco puntos no pertenecen necesariamente al conjunto dado).

8.4 Un ciclista viajó del punto $A$ al punto $B$ . Todo el recorrido está dividido en tres tramos. Se sabe que la longitud del primer tramo es ocho veces la longitud del segundo tramo. Determine la velocidad media del ciclista en todo el recorrido, dado que es igual a: $\bullet$ La velocidad en el tercer tramo, $\bullet$ $4$ km/h menos que la velocidad en el primer tramo, $\bullet$ $26$ km/h más que la mitad de la velocidad en el segundo tramo.

8.3 ¿Cuántas soluciones en enteros no negativos tiene la ecuación \[ x + 2y + 4z = 1000 \]?

8.2 En un cuadrilátero $ABCD$ , las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $O$ , y $AO = OC = AB, \quad OD = 2\cdot OB$ . Halle la longitud del lado $CD$ si se sabe que la longitud del lado $BC$ es igual a $1$ .